Determine o comprimento do arco especificado em cada curva dada.
y=(2+x)^3 / 23, 0 <= x <= 3;

Passo 1

A gente quer achar o comprimento de arco da curva
y=(2+x)^3/23
no intervalo 0<= x<=3. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva y=f(x), para o qual usamos a fórmula
L=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y. Como
y=13(2+x)^3/2,
pela regra da cadeia temos
y'=13cdot32(2+x)^1/2=12(2+x)^1/2

Passo 3

Agora montamos o integrando:
1+l(y'r)^2 =1+14(2+x) =4+(2+x)4 =x+64,
então
raiz1+l(y'r)^2 =raizx+62

Passo 4

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, temos
L=integral0^3raizx+62;dx =12integral0^3raizx+6;dx
Fazendo a mudança de variável u=x+6, com du=dx, os limites vão de u(0)=6 a u(3)=9, logo
integral0^3raizx+6;dx =integral6^9u^1/2;du =[23u^3/2]6^9 =23l(9^3/2-6^3/2r)

Passo 5

Calculando os valores,
9^3/2=27, 6^3/2=6raiz6,
então
integral0^3raizx+6;dx =23l(27-6raiz6r) =18-4raiz6
Como L=tfrac12 desse resultado, obtemos
L=12l(18-4raiz6r)=9-2raiz6

Resposta

O comprimento do arco é 9-2raiz6.

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