Usando técnicas de integração, calcule:
integral 1x^2 raizx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x^2,raizx^2-1,dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição trigonométrica, porque aparece raizx^2-1.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica usual para raizx^2-1:
x = sectheta, thetainl[0,tfracpi2r)cupl(tfracpi2,pir],
então
dx = sectheta,tantheta,dtheta, raizx^2-1 = raizsec^2theta-1 = tantheta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 1x^2,raizx^2-1,dx = integral 1sec^2theta;tantheta ;l(sectheta,tantheta,dthetar) = integral sectheta,tanthetasec^2theta,tantheta,dtheta = integral 1sectheta,dtheta = integral costheta,dtheta

Passo 4

A integral de costheta é simples:
integral costheta,dtheta = sintheta + C
Agora voltamos à variável x. Da substituição sectheta = x segue
costheta = 1x, sintheta = tanthetacostheta = raizx^2-1x

Resposta

integral 1x^2,raizx^2-1,dx = raizx^2-1x + C

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