Resolva os itens a seguir:
(a)
Usando substituição, escreva a série de Maclaurin de
;
(b)
Usando a série obtida, determine a soma da série
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Usando substituição, escrever a série de Maclaurin de
. - (b) Usando a série obtida, determinar a soma da série
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é
. - A série pedida em (b) tem termo geral
. - Não foram fornecidas figuras ou tabelas; tudo que precisamos está no texto.
Passo 2
Lembrar a série de Maclaurin conhecida para
. Vou explicar rapidinho por que ela existe (aula curta):
- Sabemos a identidade da série geométrica
- Substituindo
obtemos
- Como
, integramos termo a termo (válido para ) a partir de até :
- Portanto a série de Maclaurin de
é
com convergência até
por testes de série alternada no limite.
Passo 3
Agora aplicamos a substituição pedida: trocar
por
na série de
. Substituindo direto:
Região de validade: a série original exige
, isto é
, logo
Passo 4
Justificativa curta de por que podemos substituir: uma série de potências pode ser reescrita com
escalado — a substituição
apenas altera os coeficientes por potências de
e a região de convergência escala conforme
. Isso é rotina para séries de Taylor/Maclaurin.
Passo 5
Agora usemos a série encontrada para avaliar a soma pedida no item (b). Observe o termo geral dado:
Simplificando a potência:
Portanto a série em (b) torna-se
Mas essa é exatamente a série resultante de avaliar a expansão de
no ponto
, porque quando colocamos
em
obtemos a série do enunciado. Devemos verificar que é lícito avaliar em
:
é o ponto limite da região
; contudo a série resultante é alternada com termos
que decrescem para
, então converge (teste da série alternada). Pelo valor da função contínua no limite, temos
Resposta
(a)
(b)