Resolva os itens a seguir:
(a) [\mathbf{1}, \mathbf{0}] Usando substituição, escreva a série de Maclaurin de f(x)=\arctan (2 x);
(b) [\mathbf{1 , 0}] Usando a série obtida, determine a soma da série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 2^{2 n+1} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n+1}}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Usando substituição, escrever a série de Maclaurin de f(x)=\arctan(2x).
  2. (b) Usando a série obtida, determinar a soma da série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 2^{2 n+1} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2 n+1}}{2 n+1}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é f(x)=\arctan(2x).
  • A série pedida em (b) tem termo geral (-1)^n 2^{2n+1}\dfrac{(\tfrac{1}{2})^{2n+1}}{2n+1}.
  • Não foram fornecidas figuras ou tabelas; tudo que precisamos está no texto.

Passo 2

Lembrar a série de Maclaurin conhecida para \arctan x. Vou explicar rapidinho por que ela existe (aula curta):
  • Sabemos a identidade da série geométrica
\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^n,\qquad |t|<1.
  • Substituindo t=x^2 obtemos
\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n},\qquad |x|<1.
  • Como \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{1+x^2}, integramos termo a termo (válido para |x|<1) a partir de 0 até x:
\arctan x=\int_0^x\frac{1}{1+t^2}\,dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
  • Portanto a série de Maclaurin de \arctan x é
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<1,
com convergência até x=\pm1 por testes de série alternada no limite.

Passo 3

Agora aplicamos a substituição pedida: trocar x por 2x na série de \arctan x. Substituindo direto:
\arctan(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{2n+1}.
Região de validade: a série original exige |\text{novo argumento}|<1, isto é |2x|<1, logo
\arctan(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Justificativa curta de por que podemos substituir: uma série de potências pode ser reescrita com x escalado — a substituição x\mapsto 2x apenas altera os coeficientes por potências de 2 e a região de convergência escala conforme |2x|<1. Isso é rotina para séries de Taylor/Maclaurin.

Passo 5

Agora usemos a série encontrada para avaliar a soma pedida no item (b). Observe o termo geral dado:
(-1)^n 2^{2n+1}\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n+1}}{2n+1}.
Simplificando a potência:
2^{2n+1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n+1}= \big(2^{2n+1}2^{-2n-1}\big)=1.
Portanto a série em (b) torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}.
Mas essa é exatamente a série resultante de avaliar a expansão de \arctan(2x) no ponto x=\tfrac{1}{2}, porque quando colocamos x=\tfrac{1}{2} em
\arctan(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{2n+1}
obtemos a série do enunciado. Devemos verificar que é lícito avaliar em x=\tfrac{1}{2}: |x|=\tfrac{1}{2} é o ponto limite da região |x|<\tfrac{1}{2}; contudo a série resultante é alternada com termos 1/(2n+1) que decrescem para 0, então converge (teste da série alternada). Pelo valor da função contínua no limite, temos
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}=\arctan\big(2\cdot\tfrac{1}{2}\big)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Resposta

(a) \arctan(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<\tfrac{1}{2}.
(b) \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}2^{2n+1}\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n+1}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}.

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