Considere a função g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{3^{n}}.
(a) [\mathbf{1}, \mathbf{0}] Determine o raio de convergência da série dada;
(b) [\mathbf{1 , 0}] Determine o intervalo de convergência da série dada.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o raio de convergência da série dada.
  2. (b) Determinar o intervalo de convergência da série dada.
A série fornecida é
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n}}{3^{n}}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{termo geral: }a_n(x)=(-1)^{n}\frac{x^{n}}{3^{n}}.
Não vou resolver nada aqui ainda — só listei o que o problema pede e qual é a série.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para ver a estrutura:
(-1)^{n}\frac{x^{n}}{3^{n}}=\left(-\frac{x}{3}\right)^{n}.
Ou seja,
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{x}{3}\right)^{n}.
Agora explico o conceito que vamos usar: isso é uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, onde r é a razão. Uma propriedade básica da série geométrica é:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}\\ \text{converge} \quad\text{se e somente se}\quad |r|<1.
Quando |r|<1, a soma é \dfrac{r}{1-r}, mas aqui só precisamos da condição |r|<1 para saber onde converge.

Passo 3

Aplicando a condição da série geométrica ao nosso caso: a razão é r=-\dfrac{x}{3}. A condição de convergência é
\left|-\frac{x}{3}\right|<1.
Como o valor absoluto anula o sinal negativo, isso é equivalente a
\frac{|x|}{3}<1.
Multiplicando por 3 obtemos
|x|<3.
O raio de convergência R é o valor tal que a série converge para |x|<R. Da desigualdade acima segue que
R=3.

Passo 4

Para fixar o entendimento: outra maneira (mais geral) seria usar o teste da raiz (Cauchy) para séries de potências. Ele diz que o raio R é dado por
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
onde a_n são os coeficientes da potência \sum a_n x^n. Aqui os coeficientes são a_n=(-1)^n/3^n, então
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{3^n}}=\frac{1}{3}.
Logo \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{1}{3} e portanto R=3, o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Agora avaliamos os extremos do intervalo |x|<3, ou seja, x=3 e x=-3.
Para x=3:
cada termo fica
(-1)^{n}\frac{3^{n}}{3^{n}}=(-1)^{n}.
A série é \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}. Observe que o termo geral não tende a zero (ele oscila entre -1 e 1), e uma condição necessária para que uma série \sum b_n converja é que b_n\to 0. Como aqui b_n=(-1)^n não tende a zero, a série diverge em x=3.

Passo 6

Para x=-3:
cada termo fica
(-1)^{n}\frac{(-3)^{n}}{3^{n}}=(-1)^{n}\cdot(-1)^{n}\cdot\frac{3^{n}}{3^{n}}=(-1)^{2n}=1.
A série é \sum_{n=1}^{\infty}1, que claramente diverge (os termos não tendem a zero e a soma cresce sem limite). Portanto a série diverge também em x=-3.

Passo 7

Com os extremos excluídos, o intervalo de convergência é apenas os x com |x|<3, ou seja o intervalo aberto (-3,3). Dentro desse intervalo a série converge absolutamente (porque é geométrica com |r|<1, logo a soma dos módulos \sum |(-x/3)^n| também converge).
Força aí — a parte difícil já era: identificar que é geométrica e checar os extremos. Você consegue aplicar isso rapidinho na prova!

Resposta

(a) R=3
(b) intervalo de convergência: (-3,3)

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