Determine se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas: o termo para
é
. Para
o denominador
é positivo, então a partir de
os termos são positivos. Não há mais dados (como soma fechada), então vamos analisar o comportamento da série infinita.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): como os termos para
são positivos e têm comportamento do tipo
para grandes
, um jeito padrão é comparar com a série p-ésima
. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Vou explicar os resultados que eu uso:
-
Fato sobre séries p-ésimas: a sérieconverge se, e somente se,
. Exemplos rápidos: para temos a harmônica que diverge; para (que é nosso caso de referência) ela converge. -
Teste da comparação por limite (versão que vou aplicar): se
e para todo suficientemente grande e com, então as séries e têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Intuição curta: quando a razão tende a uma constante positiva, os termos são assintoticamente proporcionais.
Passo 3
Preparar as sequências que vou comparar e tratar o termo
: escrevo a série separando o primeiro termo.
Como
é finito, a convergência da série inteira é equivalente à convergência da cauda
Para
definimos
Ambas são positivas para
, então podemos aplicar o teste da comparação por limite.
Passo 4
Calcular o limite da razão
. Escrevo passo a passo:
Agora faço a manipulação padrão para limites de razões de polinômios: divido numerador e denominador por
:
Tomando o limite quando
obtemos
Esse limite é um número finito e positivo (
), então as hipóteses do teste da comparação por limite estão satisfeitas.
Passo 5
Aplicar as conclusões do teste: como
as séries
e
têm o mesmo comportamento. Sabemos que
converge (é uma p-série com
). Portanto a cauda
converge. Como somar ou subtrair um número finito (o termo
correspondente a
) não altera convergência, a série original também converge. Além disso, como para
temos
, a convergência da cauda implica convergência absoluta da série inteira.
Resposta
Converge (convergência absoluta).