Determine se as seguintes séries numéricas convergem ou divergem.
[\mathbf{2 , 0}] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}-1};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}-1}
converge ou diverge. Informações dadas e observações imediatas: o termo para n=0 é \dfrac{1}{2\cdot 0^{3}-1}=\dfrac{1}{-1}=-1. Para n\ge 1 o denominador 2n^{3}-1 é positivo, então a partir de n=1 os termos são positivos. Não há mais dados (como soma fechada), então vamos analisar o comportamento da série infinita.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): como os termos para n\ge 1 são positivos e têm comportamento do tipo 1/n^{3} para grandes n, um jeito padrão é comparar com a série p-ésima \sum \dfrac{1}{n^{p}}. Vou usar o teste da comparação por limite (limit comparison test). Vou explicar os resultados que eu uso:
  • Fato sobre séries p-ésimas: a série
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
    converge se, e somente se, p>1. Exemplos rápidos: para p=1 temos a harmônica que diverge; para p=3 (que é nosso caso de referência) ela converge.
  • Teste da comparação por limite (versão que vou aplicar): se a_{n}>0 e b_{n}>0 para todo n suficientemente grande e
    \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = c
    com 0<c<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ou seja, ou ambas convergem ou ambas divergem). Intuição curta: quando a razão tende a uma constante positiva, os termos são assintoticamente proporcionais.

Passo 3

Preparar as sequências que vou comparar e tratar o termo n=0: escrevo a série separando o primeiro termo.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}-1} = \frac{1}{2\cdot 0^{3}-1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}-1} = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}-1}.
Como -1 é finito, a convergência da série inteira é equivalente à convergência da cauda
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}-1}.
Para n\ge 1 definimos
a_{n}=\frac{1}{2n^{3}-1}\qquad\text{e}\qquad b_{n}=\frac{1}{n^{3}}.
Ambas são positivas para n\ge 1, então podemos aplicar o teste da comparação por limite.

Passo 4

Calcular o limite da razão a_{n}/b_{n}. Escrevo passo a passo:
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\dfrac{1}{2n^{3}-1}}{\dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{n^{3}}{2n^{3}-1}.
Agora faço a manipulação padrão para limites de razões de polinômios: divido numerador e denominador por n^{3}:
\frac{n^{3}}{2n^{3}-1}=\frac{1}{2 - \dfrac{1}{n^{3}}}.
Tomando o limite quando n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2 - \dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{1}{2}.
Esse limite é um número finito e positivo ( c=\tfrac{1}{2}\in(0,\infty)), então as hipóteses do teste da comparação por limite estão satisfeitas.

Passo 5

Aplicar as conclusões do teste: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{1}{2}\in(0,\infty),
as séries \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n^{3}-1} e \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} têm o mesmo comportamento. Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge (é uma p-série com p=3>1). Portanto a cauda \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n^{3}-1} converge. Como somar ou subtrair um número finito (o termo -1 correspondente a n=0) não altera convergência, a série original também converge. Além disso, como para n\ge1 temos |a_{n}|=a_{n}, a convergência da cauda implica convergência absoluta da série inteira.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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