Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
O conteúdo usado será a forma matricial
, o cálculo dos autovalores e autovetores de
, e a extração das partes real e imaginária das soluções complexas para obter a solução real geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial como
]
Passo 3
O polinômio característico de
é
cuja raiz é
Passo 4
Para
, buscamos um autovetor
tal que
. Isso dá
Tomando
, temos
.
Passo 5
A solução complexa associada é
Escrevendo
e separando parte real e imaginária, obtemos dois vetores solução reais independentes:
Passo 6
A solução geral real do sistema é a combinação linear dessas duas soluções independentes:
com
.
Resposta
onde
e
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.