Resolva:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-2 y \\\ \dot{y}=2 x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de coeficientes constantes
\begin{cases} \dot{x} = x - 2y,\\\ \dot{y} = 2x + y. \end{cases}
O conteúdo usado será a forma matricial \dot{\mathbf{X}} = A\mathbf{X}, o cálculo dos autovalores e autovetores de A, e a extração das partes real e imaginária das soluções complexas para obter a solução real geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial como
\dot{\mathbf{X}} = A\,\mathbf{X},\quad \mathbf{X} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}1 & -2\\[6pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -2\\[4pt]2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2+4=0,
cuja raiz é
\lambda = 1 \pm 2\,\mathrm{i}.]

Passo 4

Para \lambda = 1+2\,\mathrm{i}, buscamos um autovetor \mathbf{v}=(v_1,v_2)^T tal que (A-\lambda I)\mathbf{v}=0. Isso dá
\bigl(1-(1+2\,\mathrm{i})\bigr)v_1 -2\,v_2 = -2\,\mathrm{i}\,v_1 -2\,v_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = -\mathrm{i}\,v_1.
Tomando v_1=1, temos \mathbf{v}=(1,\,-\mathrm{i})^T.

Passo 5

A solução complexa associada é
\mathbf{X}_c(t) = e^{(1+2\,\mathrm{i})t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\mathrm{i}\end{pmatrix} = e^t \begin{pmatrix}e^{2\,\mathrm{i}t}\\[4pt]-\mathrm{i}e^{2\,\mathrm{i}t}\end{pmatrix}.
Escrevendo e^{2\,\mathrm{i}t}=\cos2t + \mathrm{i}\sin2t e separando parte real e imaginária, obtemos dois vetores solução reais independentes:
\mathbf{u}_1(t) = e^t\begin{pmatrix}\cos2t\\[4pt]\sin2t\end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_2(t) = e^t\begin{pmatrix}\sin2t\\[4pt]-\cos2t\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral real do sistema é a combinação linear dessas duas soluções independentes:
\mathbf{X}(t) = C_{1}\,\mathbf{u}_1(t) + C_{2}\,\mathbf{u}_2(t),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

x(t) = e^t\bigl(C_{1}\cos2t + C_{2}\sin2t\bigr), \quad y(t) = e^t\bigl(C_{1}\sin2t - C_{2}\cos2t\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.

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