Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x, x(0)=1 \\\ \dot{y}=-y, y(0)=1 ;\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema desacoplado de equações diferenciais de 1º ordem com condições iniciais. O conteúdo envolvido é a resolução de EDOs lineares simples e, em seguida, a descrição da trajetória no plano (x,y).

Passo 2

Resolver \dot{x}=x por separação de variáveis ou reconhecendo que é equação linear homogênea com solução geral
x(t)=C\,e^{t}.
Impondo x(0)=1 temos
1 = C\,e^{0}\quad\Longrightarrow\quad C=1,
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x(t)=e^{t}.

Passo 3

Resolver \dot{y}=-y por separação de variáveis ou como linear homogênea, obtendo
y(t)=D\,e^{-t}.
Usando y(0)=1 obtemos
1 = D\,e^{0}\quad\Longrightarrow\quad D=1,
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y(t)=e^{-t}.

Passo 4

Descriminar a trajetória eliminando o parâmetro t. Como x(t)=e^{t}, temos e^{-t}=1/x(t). Então
y(t)=e^{-t}=\frac{1}{x(t)},
que é a equação da hipérbole no 1º quadrante
xy=1.
À medida que t cresce, x(t) aumenta e y(t) diminui, movendo-se para a direita e para baixo ao longo dessa curva.

Resposta

x(t)=e^{t},\quad y(t)=e^{-t},
com trajetória dada pela hipérbole xy=1 no primeiro quadrante, percorrida da posição (1,1) em t=0 para a direita e para baixo conforme t aumenta.

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