Prove as seguintes identidades trigonométricas:
\cos ^{3} \theta=\frac{3 \cos \theta+\cos 3 \theta}{4}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica \cos^{3}\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do cosseno de ângulo triplo, obtida a partir da fórmula de soma de ângulos.

Passo 2

Começamos lembrando que
\cos(2\theta + \theta) = \cos 2\theta \,\cos \theta \;-\;\sin 2\theta \,\sin \theta.
Como \cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta - 1 e \sin 2\theta = 2\sin\theta\,\cos\theta, temos
\cos 3\theta = (2\cos^{2}\theta - 1)\cos\theta \;-\;(2\sin\theta\,\cos\theta)\sin\theta = 2\cos^{3}\theta \;-\;\cos\theta \;-\;2\sin^{2}\theta\,\cos\theta.
Substituindo \sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta neste último termo,
\cos 3\theta = 2\cos^{3}\theta - \cos\theta -2(1-\cos^{2}\theta)\cos\theta = 2\cos^{3}\theta - \cos\theta -2\cos\theta + 2\cos^{3}\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta.

Passo 3

Agora basta isolar \cos^{3}\theta na relação
\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta.
Reescrevendo,
4\cos^{3}\theta = \cos 3\theta + 3\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos^{3}\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}.

Resposta

\displaystyle \cos^{3}\theta = \frac{3\cos\theta + \cos 3\theta}{4}.

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