O enunciado pede para resolver a equação para x real:
\left|x^{2}-1\right|-2 x=1.
Informações e pontos relevantes que o enunciado dá:
Há um valor absoluto \left|x^{2}-1\right|.
O membro à direita (após isolar o valor absoluto) será \,2x+1, e como o valor absoluto é sempre não-negativo, isso implica uma restrição necessária:
2x+1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\tfrac{1}{2}.
O sinal da expressão interna do módulo, x^{2}-1, muda em x=\pm 1; portanto devemos analisar casos conforme x^{2}-1 seja não negativo ou negativo.
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática): para equações com valor absoluto usa-se a definição em casos (peça a peça):
Definição do valor absoluto: para qualquer número real t\),
\[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t \ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t < 0. \end{cases}
Aplicando aqui com t=x^{2}-1\], temos dois casos naturais: \(x^{2}-1 \ge 0 (ou seja |x|\ge 1) e x^{2}-1<0 (ou seja |x|<1). Além disso já temos a restrição x\ge -\tfrac{1}{2} obtida no passo anterior. Vou resolver em cada região compatível com essas condições e depois verificar quais soluções realmente satisfazem todas as restrições.]
Passo 3
Caso A: x^{2}-1<0 (ou seja |x|<1). Como também precisamos de x\ge -\tfrac{1}{2}, a interseção das condições é
-\tfrac{1}{2} \le x < 1.
Neste caso |x^{2}-1| = 1 - x^{2}. Substituindo na equação:
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Assim as raízes são
x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
Agora verifico quais satisfazem x\ge 1:
x = 1 + \sqrt{3} é maior que 1, então é candidato válido.
x = 1 - \sqrt{3} é aproximadamente -0{,}732, menor que 1, logo não pertence ao intervalo x\ge 1 e é rejeitado.
Passo 6
Verificação rápida de x=1+\sqrt{3} na equação original (compacidade):
Calcular |x^{2}-1|-2x para x=1+\sqrt{3}. Observação: já sabemos que para esse x temos x^{2}-1\ge0, então |x^{2}-1|=x^{2}-1. A substituição conduz à quadrática que já resolvemos, de onde saiu exatamente essa raiz; portanto x=1+\sqrt{3} satisfaz a equação (confirmação implícita pela derivação).
Resumo: das duas soluções candidatas finais temos x=0 e x=1+\sqrt{3}, ambas verificadas.