Resolva
\left|x^{2}-1\right|-2 x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação para x real:
\left|x^{2}-1\right|-2 x=1.
Informações e pontos relevantes que o enunciado dá:
  • Há um valor absoluto \left|x^{2}-1\right|.
  • O membro à direita (após isolar o valor absoluto) será \,2x+1, e como o valor absoluto é sempre não-negativo, isso implica uma restrição necessária:
2x+1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\tfrac{1}{2}.
  • O sinal da expressão interna do módulo, x^{2}-1, muda em x=\pm 1; portanto devemos analisar casos conforme x^{2}-1 seja não negativo ou negativo.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática): para equações com valor absoluto usa-se a definição em casos (peça a peça):
  • Definição do valor absoluto: para qualquer número real t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t \ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t < 0. \end{cases}
Aplicando aqui com t=x^{2}-1\], temos dois casos naturais: \(x^{2}-1 \ge 0 (ou seja |x|\ge 1) e x^{2}-1<0 (ou seja |x|<1). Além disso já temos a restrição x\ge -\tfrac{1}{2} obtida no passo anterior. Vou resolver em cada região compatível com essas condições e depois verificar quais soluções realmente satisfazem todas as restrições.]

Passo 3

Caso A: x^{2}-1<0 (ou seja |x|<1). Como também precisamos de x\ge -\tfrac{1}{2}, a interseção das condições é
-\tfrac{1}{2} \le x < 1.
Neste caso |x^{2}-1| = 1 - x^{2}. Substituindo na equação:
1 - x^{2} - 2x = 1.
Agora simplifico passo a passo:
1 - x^{2} - 2x = 1 \quad\Longrightarrow\quad -x^{2} - 2x = 0.
Multiplicando por -1:
x^{2} + 2x = 0.
Fatorando:
x(x+2) = 0.
As raízes dessa equação são
x = 0 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Agora verifico quais estão no intervalo -\tfrac{1}{2} \le x < 1:
  • x=0 pertence ao intervalo, então é candidato válido.
  • x=-2 não pertence (é menor que -\tfrac{1}{2}), portanto é rejeitado.

Passo 4

Verificação rápida de x=0 na equação original (confirmação):
\left|0^{2}-1\right|-2\cdot 0 = |{-1}|-0 = 1,
o que satisfaz a equação. Logo x=0 é solução válida.

Passo 5

Caso B: x^{2}-1 \ge 0 (ou seja |x|\ge 1). Com a restrição x\ge -\tfrac{1}{2} isso limita-se a
x \ge 1
(porque a parte x\le -1 não satisfaz x\ge -\tfrac{1}{2}). Nesse caso |x^{2}-1| = x^{2}-1. Substituindo na equação:
x^{2} - 1 - 2x = 1.
Isolando tudo num lado:
x^{2} - 2x - 2 = 0.
Esta é uma quadrática. Uso a fórmula de Bhaskara; o discriminante é
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Assim as raízes são
x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
Agora verifico quais satisfazem x\ge 1:
  • x = 1 + \sqrt{3} é maior que 1, então é candidato válido.
  • x = 1 - \sqrt{3} é aproximadamente -0{,}732, menor que 1, logo não pertence ao intervalo x\ge 1 e é rejeitado.

Passo 6

Verificação rápida de x=1+\sqrt{3} na equação original (compacidade):
Calcular |x^{2}-1|-2x para x=1+\sqrt{3}. Observação: já sabemos que para esse x temos x^{2}-1\ge0, então |x^{2}-1|=x^{2}-1. A substituição conduz à quadrática que já resolvemos, de onde saiu exatamente essa raiz; portanto x=1+\sqrt{3} satisfaz a equação (confirmação implícita pela derivação).
Resumo: das duas soluções candidatas finais temos x=0 e x=1+\sqrt{3}, ambas verificadas.

Resposta

x=0
x=1+\sqrt{3}

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