Simplifique a expressao
\left(\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}\right)^{2}\left(\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: devemos simplificar a expressão
\left(\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}\right)^{2}\left(\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}\right).
Informações relevantes que vamos usar: a expressão tem potências de x e y, uma potência externa (expoente 2) e uma subtração de frações algébricas. O objetivo é reduzir tudo a uma forma mais simples (preferivelmente com expoentes positivos no resultado final).

Passo 2

Simplificar a fração dentro do primeiro parêntese. Escrevendo expoentes explícitos no numerador e denominador:
\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}=\frac{x^{1}y^{1}}{x^{-1}y^{3}}.
Usamos a regra de potências para divisão: quando dividimos potências de mesma base, subtrai-se os expoentes, isto é,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Aplicando essa regra a cada base separadamente ( x e y):
\frac{x^{1}}{x^{-1}}=x^{1-(-1)}=x^{2}, \qquad \frac{y^{1}}{y^{3}}=y^{1-3}=y^{-2}.
Portanto
\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}=x^{2}y^{-2}.
(Exemplo rápido para fixar: \dfrac{a^{3}}{a^{-2}}=a^{3-(-2)}=a^{5}.)

Passo 3

Agora elevamos o resultado ao quadrado, usando a regra (ab)^{n}=a^{n}b^{n} e (a^{m})^{n}=a^{mn}:
\left(x^{2}y^{-2}\right)^{2}=x^{2\cdot 2}y^{-2\cdot 2}=x^{4}y^{-4}.

Passo 4

Simplificar a subtração de frações no segundo parêntese:
\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}.
Colocando sobre o mesmo denominador x^{4}: escrevemos \dfrac{y}{x^{3}}=\dfrac{x y}{x^{4}}. Então
\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}=\frac{x y}{x^{4}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}=\frac{x y-y^{2}}{x^{4}}.
Fatorando y no numerador:
\frac{x y-y^{2}}{x^{4}}=\frac{y(x-y)}{x^{4}}.

Passo 5

Multiplicar os resultados dos dois blocos:
x^{4}y^{-4}\cdot\frac{y(x-y)}{x^{4}}.
Primeiro simplificamos x^{4} do numerador com x^{4} do denominador (cancelamento): isso deixa
y^{-4}\cdot y\cdot (x-y).
Agora usamos a regra de soma de expoentes para multiplicação de potências da mesma base: y^{-4}\cdot y^{1}=y^{-4+1}=y^{-3}. Logo ficamos com
y^{-3}(x-y).

Passo 6

Escrever o resultado com expoentes positivos: y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}. Assim
y^{-3}(x-y)=\frac{x-y}{y^{3}}.

Resposta

\frac{x-y}{y^{3}}

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