Esboce o gráfico de
f(x)=|x-4|+|x+2|

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico de f(x)=|x-4|+|x+2|.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função envolve duas expressões em valor absoluto: x-4 e x+2.
  • Os pontos onde as expressões dentro do valor absoluto mudam de sinal são x=4 e x=-2. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos onde a expressão absoluta tem fórmula diferente.
  • O objetivo final é desenhar o gráfico (saber a forma da curva, onde muda a inclinação, valores importantes).

Passo 2

Entender como tratar valor absoluto (mini-aula rápida e prática).
Definição útil: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isso significa que cada |\cdot|\] pode ser reescrito de forma linear em regiões onde o argumento tem sinal conhecido. Para \(f(x)=|x-4|+|x+2| vamos separar os intervalos definidos pelos zeros dos argumentos: x=-2 e x=4. Esses são exatamente os pontos em que cada termo muda de expressão. Logo, consideraremos três intervalos: (-\infty,-2), [-2,4] e (4,\infty).]

Passo 3

Intervalo (-\infty,-2]. Aqui x+2\le 0 e x-4<0. Aplicando a regra do valor absoluto:
|x+2|=-(x+2)=-x-2,\qquad |x-4|=-(x-4)=4-x.
Somando:
f(x)=4-x+(-x-2)=2-2x,\qquad \text{para } x\le-2.
Interpretação prática: nessa região f é uma reta de coeficiente angular -2 (inclinação negativa). Exemplo numérico para checar: em x=-4 temos f(-4)=2-2(-4)=2+8=10. Esse valor também pode ser verificado diretamente: |-4-4|+|-4+2|=8+2=10.

Passo 4

Intervalo [-2,4]. Aqui x+2\ge 0 e x-4\le 0. Então
|x+2|=x+2,\qquad |x-4|=4-x,
logo
f(x)=x+2+4-x=6,\qquad \text{para } -2\le x\le4.
Interpretação: nesta região a soma das distâncias é constante igual a 6. Observação conceitual útil: geometricamente |x-4|+|x+2| é a soma das distâncias do ponto x aos pontos 4 e -2; quando x está entre esses pontos a soma é exatamente a distância entre eles, 4-(-2)=6. Portanto f atinge seu valor mínimo 6 para todo x\in[-2,4]. Checagem numérica: f(0)=|0-4|+|0+2|=4+2=6.

Passo 5

Intervalo [4,\infty). Aqui x-4\ge 0 e x+2\ge0. Então
|x-4|=x-4,\qquad |x+2|=x+2,
portanto
f(x)=x-4+x+2=2x-2,\qquad \text{para } x\ge4.
Interpretação: nesta região f é uma reta de coeficiente angular 2 (inclinação positiva). Checagem em x=6: f(6)=2\cdot6-2=10, que coincide com |6-4|+|6+2|=2+8=10.

Passo 6

Verificar continuidade e pontos de junção. Avaliando as fórmulas nos pontos de quebra:
\text{em } x=-2:\quad f(-2)=2-2(-2)=6,
\text{em } x=4:\quad f(4)=2\cdot4-2=6.
E pela fórmula central f(x)=6 em [-2,4]. Logo f é contínua e as três peças se encontram em altura 6. Assim o gráfico tem um trecho horizontal de altura 6 entre x=-2 e x=4, conectado a duas semirretas: à esquerda uma com inclinação -2 e à direita uma com inclinação 2.

Passo 7

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão sem calculadora):
  • Marcar os pontos (-2,6) e (4,6) e desenhar o segmento horizontal entre eles (esse é o mínimo).
  • Para a parte esquerda, a partir de (-2,6) desenhar uma reta com inclinação -2. Um ponto adicional útil: em x=-4 o valor é 10; assim leve a reta passando por (-4,10).
  • Para a parte direita, a partir de (4,6) desenhar uma reta com inclinação 2. Um ponto adicional: em x=6 o valor é 10; assim leve a reta passando por (6,10).
  • O gráfico resultante é simétrico em torno do ponto médio entre -2 e 4 (que é 1) no sentido de que as duas caudas crescem igualmente; o trecho central é plano em y=6.

Resposta

f(x)= \begin{cases} 2-2x, & x\le-2,\\[4pt] 6, & -2\le x\le4,\\[4pt] 2x-2, & x\ge4. \end{cases}]

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