Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função envolve duas expressões em valor absoluto:
e . - Os pontos onde as expressões dentro do valor absoluto mudam de sinal são
e . Esses pontos dividem a reta real em três intervalos onde a expressão absoluta tem fórmula diferente. - O objetivo final é desenhar o gráfico (saber a forma da curva, onde muda a inclinação, valores importantes).
Passo 2
Entender como tratar valor absoluto (mini-aula rápida e prática).
Definição útil: para qualquer número real
Isso significa que cada
vamos separar os intervalos definidos pelos zeros dos argumentos:
e
. Esses são exatamente os pontos em que cada termo muda de expressão. Logo, consideraremos três intervalos:
,
e
.]
Passo 3
Intervalo
. Aqui
e
. Aplicando a regra do valor absoluto:
Somando:
Interpretação prática: nessa região
é uma reta de coeficiente angular
(inclinação negativa). Exemplo numérico para checar: em
temos
. Esse valor também pode ser verificado diretamente:
.
Passo 4
Intervalo
. Aqui
e
. Então
logo
Interpretação: nesta região a soma das distâncias é constante igual a
. Observação conceitual útil: geometricamente
é a soma das distâncias do ponto
aos pontos
e
; quando
está entre esses pontos a soma é exatamente a distância entre eles,
. Portanto
atinge seu valor mínimo
para todo
. Checagem numérica:
.
Passo 5
Intervalo
. Aqui
e
. Então
portanto
Interpretação: nesta região
é uma reta de coeficiente angular
(inclinação positiva). Checagem em
:
, que coincide com
.
Passo 6
Verificar continuidade e pontos de junção. Avaliando as fórmulas nos pontos de quebra:
E pela fórmula central
em
. Logo
é contínua e as três peças se encontram em altura
. Assim o gráfico tem um trecho horizontal de altura
entre
e
, conectado a duas semirretas: à esquerda uma com inclinação
e à direita uma com inclinação
.
Passo 7
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão sem calculadora):
- Marcar os pontos
e e desenhar o segmento horizontal entre eles (esse é o mínimo). - Para a parte esquerda, a partir de
desenhar uma reta com inclinação . Um ponto adicional útil: em o valor é ; assim leve a reta passando por . - Para a parte direita, a partir de
desenhar uma reta com inclinação . Um ponto adicional: em o valor é ; assim leve a reta passando por . - O gráfico resultante é simétrico em torno do ponto médio entre
e (que é ) no sentido de que as duas caudas crescem igualmente; o trecho central é plano em .