Determine o valor da expressão:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o valor da expressão
Informações relevantes fornecidas (explicitamente ou implícitas):
- A expressão envolve as funções trigonométricas
e e suas recíprocas e . - Para que a expressão esteja bem definida, é necessário que as recíprocas existam (ou seja,
e não podem ser zero).
Passo 2
Definição e ideia usada (aula rápida e direta): a função cosseno recíproca e seno recíproco são definidas como
sempre que os denominadores não sejam zero. Aqui:
-
significa "cosecante de " e é igual a . -
significa "secante de " e é igual a .
Passo 3
Substituir as definições na expressão e simplificar passo a passo (mostrando a cancelamento que ocorre):
Agora, quando multiplicamos uma função pelo seu recíproco, obtemos
(desde que o recíproco exista). Portanto:
logo
desde que ambas as multiplicações sejam válidas.
Passo 4
Análise do domínio (quando a simplificação é válida): as identidades usadas exigem que nem
nem
sejam zero. Identificar onde cada uma zera:
A união desses pontos é exatamente o conjunto dos múltiplos de
:
Portanto a expressão original está definida e igual a
para todo
que não seja um múltiplo de
.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: escolha
. Então
e
. Assim
confirmando a regra.
Passo 6
Resumo didático e incentivo: a conta é curta porque csc e sec são recíprocas de seno e cosseno; multiplicar uma função pela sua recíproca dá
. Lembre-se sempre de verificar se os recíprocos existem (aqui excluímos pontos onde seno ou cosseno são zero). Vai dar tudo certo na prova — repete esse raciocínio e fica mais automático!