Determine o valor da expressão:
\sin x \cdot \csc x+\cos x \cdot \operatorname{sec} x

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o valor da expressão
\sin x \cdot \csc x+\cos x \cdot \operatorname{sec} x.
Informações relevantes fornecidas (explicitamente ou implícitas):
  • A expressão envolve as funções trigonométricas \sin x e \cos x e suas recíprocas \csc x e \operatorname{sec} x.
  • Para que a expressão esteja bem definida, é necessário que as recíprocas existam (ou seja, \sin x e \cos x não podem ser zero).

Passo 2

Definição e ideia usada (aula rápida e direta): a função cosseno recíproca e seno recíproco são definidas como
\csc x=\frac{1}{\sin x}\quad\text{e}\quad \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x},
sempre que os denominadores não sejam zero. Aqui:
  • \csc x significa "cosecante de x" e é igual a 1/\sin x.
  • \operatorname{sec} x significa "secante de x" e é igual a 1/\cos x.

Passo 3

Substituir as definições na expressão e simplificar passo a passo (mostrando a cancelamento que ocorre):
\sin x\cdot \csc x+\cos x\cdot \operatorname{sec} x = \sin x\cdot\frac{1}{\sin x}+\cos x\cdot\frac{1}{\cos x}.
Agora, quando multiplicamos uma função pelo seu recíproco, obtemos 1 (desde que o recíproco exista). Portanto:
\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}=1\quad\text{e}\quad \cos x\cdot\frac{1}{\cos x}=1,
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\sin x\cdot \csc x+\cos x\cdot \operatorname{sec} x=1+1=2,
desde que ambas as multiplicações sejam válidas.

Passo 4

Análise do domínio (quando a simplificação é válida): as identidades usadas exigem que nem \sin x nem \cos x sejam zero. Identificar onde cada uma zera:
\sin x=0\\ \Longleftrightarrow\\ x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
\cos x=0\\ \Longleftrightarrow\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
A união desses pontos é exatamente o conjunto dos múltiplos de \tfrac{\pi}{2}:
\{k\pi\}\cup\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}=\left\{\frac{k\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.
Portanto a expressão original está definida e igual a 2 para todo x que não seja um múltiplo de \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: escolha x=\tfrac{\pi}{6}. Então \sin x=\tfrac{1}{2} e \cos x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
\sin x\cdot\csc x+\cos x\cdot\operatorname{sec} x =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{1/2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}/2}=1+1=2,
confirmando a regra.

Passo 6

Resumo didático e incentivo: a conta é curta porque csc e sec são recíprocas de seno e cosseno; multiplicar uma função pela sua recíproca dá 1. Lembre-se sempre de verificar se os recíprocos existem (aqui excluímos pontos onde seno ou cosseno são zero). Vai dar tudo certo na prova — repete esse raciocínio e fica mais automático!

Resposta

2 para x tal que x\notin\left\{\dfrac{k\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.

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