Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas e o que é pedido:
- Há somas de logaritmos naturais (
) com argumentos e . - Precisamos encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação. - Importante: para que
esteja definido é necessário que seus argumentos sejam positivos. Ou seja, devemos ter simultaneamente
Essas duas desigualdades implicam a condição de domínio que usaremos depois.
Passo 2
Regra de logaritmos (a ferramenta principal que vamos usar):
- Para
e vale a identidade
Explicação curta e intuitiva: o logaritmo é a inversa da exponenciação. Como
e
, multiplicando dá
, daí surge a propriedade acima. Essa propriedade exige que
e
sejam positivos — por isso reafirmamos a condição de domínio.
Aplicando essa regra ao nosso caso com
e
(desde que ambos positivos), obtemos a equivalência
Passo 3
Usando a igualdade do passo anterior, a equação original vira
Agora usamos outra propriedade dos logaritmos: a função
é estritamente crescente no seu domínio
. Portanto, se
com
e
, então
. Aplicando aqui:
Passo 4
Resolver a equação algébrica obtida:
Primeiro expandir o produto:
Primeiro expandir o produto:
Então igualamos a
:
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 5
Resolver a equação quadrática. Tentamos fatorar:
Procuramos dois números cujo produto é e soma é
. Esses números são
e
. Logo a fatoração é
Procuramos dois números cujo produto é
Portanto as soluções da quadrática são
Passo 6
Aplicar a condição de domínio (do Passo 1): precisamos de
e
, ou seja
o que equivale a
Das soluções encontradas apenas
satisfaz
. A solução
torna
(argumento negativo para
), portanto é extrânea e deve ser descartada.
Passo 7
Verificação rápida (substituição) para garantir:
Para temos
e
. Então
Para
que confirma a solução.