Resolva \ln (x+2)+\ln (x-1)=\ln 4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln 4 .
Informações dadas e o que é pedido:
  • Há somas de logaritmos naturais ( \ln) com argumentos x+2 e x-1.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação.
  • Importante: para que \ln esteja definido é necessário que seus argumentos sejam positivos. Ou seja, devemos ter simultaneamente
x+2>0 \quad\text{e}\quad x-1>0.
Essas duas desigualdades implicam a condição de domínio que usaremos depois.

Passo 2

Regra de logaritmos (a ferramenta principal que vamos usar):
  • Para a>0 e b>0 vale a identidade
\ln a + \ln b = \ln(ab).
Explicação curta e intuitiva: o logaritmo é a inversa da exponenciação. Como \mathrm{e}^{\ln a}=a e \mathrm{e}^{\ln b}=b, multiplicando dá \mathrm{e}^{\ln a}\mathrm{e}^{\ln b}=\mathrm{e}^{\ln a+\ln b}, daí surge a propriedade acima. Essa propriedade exige que a e b sejam positivos — por isso reafirmamos a condição de domínio.
Aplicando essa regra ao nosso caso com a=x+2 e b=x-1 (desde que ambos positivos), obtemos a equivalência
\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln\big((x+2)(x-1)\big).

Passo 3

Usando a igualdade do passo anterior, a equação original vira
\ln\big((x+2)(x-1)\big)=\ln 4.
Agora usamos outra propriedade dos logaritmos: a função \ln é estritamente crescente no seu domínio (0,\infty). Portanto, se \ln A=\ln B com A>0 e B>0, então A=B. Aplicando aqui:
(x+2)(x-1)=4.

Passo 4

Resolver a equação algébrica obtida:
Primeiro expandir o produto:
(x+2)(x-1)=x^2 + x -2 .
Então igualamos a 4:
x^2 + x -2 = 4.
Subtraindo 4 dos dois lados:
x^2 + x -6 = 0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática. Tentamos fatorar:
Procuramos dois números cujo produto é -6 e soma é 1. Esses números são 3 e -2. Logo a fatoração é
x^2 + x -6 = (x+3)(x-2).
Portanto as soluções da quadrática são
x=-3 \quad\text{ou}\quad x=2.

Passo 6

Aplicar a condição de domínio (do Passo 1): precisamos de x+2>0 e x-1>0, ou seja
x>-2 \quad\text{e}\quad x>1,
o que equivale a
x>1.
Das soluções encontradas apenas x=2 satisfaz x>1. A solução x=-3 torna x+2=-1 (argumento negativo para \ln), portanto é extrânea e deve ser descartada.

Passo 7

Verificação rápida (substituição) para garantir:
Para x=2 temos x+2=4 e x-1=1. Então
\ln(4)+\ln(1)=\ln 4 + 0 = \ln 4,
que confirma a solução.

Resposta

x=2

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