Ex 3. (Resolva manualmente utilizando o R) Um conhecido laboratório multinacional comercializa um antibiótico oral para tratamento de pneumonia. Uma propaganda disponível em um jornal afirma que o percentual de cura em adultos é maior que
. Para testar a afirmação do laboratório, realizou-se um experimento com 50 pacientes, verificando-se a cura em 42 deles. Elabore um teste de hipótese que vise avaliar a afirmação do laboratório e discuta as questões abaixo:
- Existe alguma forma de reduzir os dois tipos de erro na tomada de decisão?
- Neste experimento o que significa cometer o Erro Tipo I e o Erro tipo II?
- Qual a sua conclusão ao assumir um nível de significância (Erro tipo I) de
?
Passo 1
O enunciado diz o seguinte e pede estas coisas.
- Foi testado um antibiótico em
50 pacientes e observou-se cura em 42 deles. - A propaganda afirma que o percentual de cura em adultos é maior que
(ou seja, ). - Pedidos:
- Fazer um teste de hipótese para avaliar a afirmação do laboratório.
- Discutir se há como reduzir os dois tipos de erro ao mesmo tempo.
- Explicar o que significam, neste experimento, Erro Tipo I e Erro Tipo II.
- Concluir assumindo nível de significância (Erro Tipo I) igual a
.
Informações relevantes dadas:
50
,
42
, estimador amostral da proporção
. O objetivo principal é testar a afirmação
.
Passo 2
Escolha do método de resolução (explicação didática): vamos usar o teste de proporção unilateral (teste z para proporção), que é o método padrão para testar hipóteses sobre uma proporção quando
é razoavelmente grande. Não há indicação no enunciado de usar outro método, e como estamos em um curso de exatas e temos
com
e
(limite aceitável), a aproximação normal ao binomial é aceitável. Vou também mostrar como obter o p-valor exato pelo binomial usando R (comando indicado), mas o cálculo manual será feito pela aproximação normal (z).
Observação: quando houver dúvida entre várias abordagens, escolhemos a mais básica e ensinável — aqui o teste z — porque é o que se espera em provas de estatística básica.
Passo 3
Definição das hipóteses (escrever explicitamente o que será testado):
Comentário rápido sobre por que estas hipóteses: a propaganda afirma que a taxa de cura é maior que
, então a hipótese alternativa é unilateral para cima. Em testes de proporção é comum usar
(ou
) e
conforme a afirmação que se quer investigar.
Passo 4
Calcular a estatística de teste e explicar a fórmula em detalhe.
- Estimador amostral da proporção:
Expliquei:
é a proporção observada de sucessos (cura) na amostra; aqui
42
sucessos em
50
pacientes.
- Fórmula da estatística
(teste z para proporção, usando na variância sob ):
Explicação das partes:
-
é a proporção observada (definida acima). -
é o valor da proporção sob (aqui ). -
O denominador
é o erro padrão da proporção quando assumimos verdadeiro; ele quantifica a variabilidade esperada de devido ao acaso. -
Cálculo numérico passo a passo:
- Calcular
:
- Dividir por
:
- Extrair a raiz quadrada (erro padrão):
- Diferença
:
- Estatística
:
- Calcular
Interpretação:
mede quantos desvios-padrão a proporção observada está acima ou abaixo de
. Um
negativo indica que
está abaixo de
, ou seja, a amostra sugere taxa de cura menor que
.
Passo 5
Cálculo do p-valor (unilateral para
) e decisão com nível de significância
.
- Para hipótese alternativa unilateral
, o p-valor é a probabilidade, sob , de obter uma estatística tão favorável à alternativa quanto a observada. Como a alternativa é “maior”, valores favoráveis são grandes e positivos. Nosso observado é (negativo), ou seja, o resultado está no sentido oposto ao da alternativa; portanto o p-valor será grande (perto de 1). Usando a aproximação normal:
Sabendo que
, obtemos
- Em R, para calcular o p-valor exato binomial (mais preciso) pode-se usar o comando (indicativo):
No R: pbinom
Explicação: isto calcula
quando
, que é o p-valor exato para a alternativa unilateral
. (Na aproximação normal obtivemos
, e o p-valor exato será da mesma ordem.)
- Região crítica para
: calcular o quantil crítico da normal padrão
Rejeitamos
se
. Aqui
, portanto não rejeitamos
.
- Alternativa em termos de proporção observada: o valor crítico de
que levaria à rejeição é
Ou seja, na amostra teríamos que observar
maior que aproximadamente
(quase
) para rejeitar
ao nível
— tarefa praticamente impossível com
. Como
, estamos MUITO longe do necessário para rejeitar.
Passo 6
Interpretação das decisões e significados dos erros no contexto do experimento.
-
Erro Tipo I (falso positivo): é o erro de rejeitar
quando é verdadeira. Neste contexto, cometer Erro Tipo I significaria concluir — pela amostra — que a cura é maior do que quando, na realidade, a taxa verdadeira de cura é (ou menor, dependendo do enunciado de igualdade/inequidade). O nível de significância é a probabilidade máxima de cometer esse erro; aqui foi fixado (1%). -
Erro Tipo II (falso negativo): é o erro de não rejeitar
quando é verdadeira. Neste experimento, cometer Erro Tipo II significaria não aceitar a propaganda (não rejeitar ) quando, na verdade, a taxa verdadeira de cura é realmente maior que . A probabilidade de cometer o Erro Tipo II é ; a potência do teste é . -
Qual dos erros estamos mais propensos a cometer aqui? Como
, os dados vão contra a afirmação do laboratório; o teste não rejeita (que é a fronteira para a afirmação), então, na prática, estamos sujeitos a possivelmente cometer Erro Tipo II caso de fato seja um pouco maior que . Mas dado o observado, é mais razoável concluir que não há evidência da afirmação.
Passo 7
Existe alguma forma de reduzir os dois tipos de erro ao mesmo tempo?
-
Regra geral: para um teste fixo e para um dado tamanho amostral, há um trade-off entre Erro Tipo I (
) e Erro Tipo II ( ): diminuir normalmente aumenta (aumenta a chance de não detectar um efeito real). Portanto, não é possível reduzir simultaneamente e sem mudar alguma outra coisa. -
Como reduzir ambos na prática? A principal maneira é aumentar o tamanho da amostra
. Com amostra maior, o erro padrão diminui, o que permite obter tanto um baixo quanto uma baixa (maior potência). Outra forma é melhorar o desenho do estudo para reduzir variabilidade (por ex., critérios mais homogêneos de inclusão, medidas mais precisas). Exemplo numérico rápido: supondo que queiramos detectar uma proporção verdadeira contra com e potência ( ), a fórmula aproximada de tamanho de amostra dá
Substituindo
,
,
,
, obtemos
. Ou seja, precisaríamos de uma amostra bem maior (~311) para ter chance razoável de detectar uma diferença de
pontos percentuais com
.
Passo 8
Conclusão final assumindo nível de significância
.
- Estatística observada:
. - Valor crítico:
. - p-valor (aprox. normal):
. - Decisão: como
e o p-valor é muito maior que , não rejeitamos .
Interpretação prática: com os dados da amostra (
curas em
pacientes,
), não há evidência estatística de que a proporção de cura seja maior que
ao nível de significância de
. Pelo contrário, a proporção observada é menor que
. Se quisermos ter poder para detectar com segurança uma proporção verdadeira ligeiramente acima de
, seria necessário aumentar muito a amostra.
Resposta
Decisão do teste (com
): Não rejeitar
. p-valor (aprox. normal unilateral)
. Não há evidência de que a cura seja maior que
; a proporção observada é
.
Existe forma de reduzir ambos os erros ao mesmo tempo? Em geral, não sem mudar o desenho do estudo; aumentar o tamanho da amostra ou reduzir a variabilidade permite reduzir simultaneamente e
(ex.: para detectar
contra
com
e potência
seria necessário
).
O que significam os erros aqui? Erro Tipo I: concluir que a cura é quando na verdade
. Erro Tipo II: não concluir que a cura é
quando na verdade
.
Existe forma de reduzir ambos os erros ao mesmo tempo? Em geral, não sem mudar o desenho do estudo; aumentar o tamanho da amostra ou reduzir a variabilidade permite reduzir simultaneamente
O que significam os erros aqui? Erro Tipo I: concluir que a cura é