Ex 3. (Resolva manualmente utilizando o R) Um conhecido laboratório multinacional comercializa um antibiótico oral para tratamento de pneumonia. Uma propaganda disponível em um jornal afirma que o percentual de cura em adultos é maior que 90 %. Para testar a afirmação do laboratório, realizou-se um experimento com 50 pacientes, verificando-se a cura em 42 deles. Elabore um teste de hipótese que vise avaliar a afirmação do laboratório e discuta as questões abaixo:
  • Existe alguma forma de reduzir os dois tipos de erro na tomada de decisão?
  • Neste experimento o que significa cometer o Erro Tipo I e o Erro tipo II?
  • Qual a sua conclusão ao assumir um nível de significância (Erro tipo I) de 1 \% ?

Passo 1

O enunciado diz o seguinte e pede estas coisas.
  • Foi testado um antibiótico em n= 50 pacientes e observou-se cura em x= 42 deles.
  • A propaganda afirma que o percentual de cura em adultos é maior que 90\% (ou seja, p>0,9).
  • Pedidos:
    1. Fazer um teste de hipótese para avaliar a afirmação do laboratório.
    2. Discutir se há como reduzir os dois tipos de erro ao mesmo tempo.
    3. Explicar o que significam, neste experimento, Erro Tipo I e Erro Tipo II.
    4. Concluir assumindo nível de significância (Erro Tipo I) igual a 1\%.
Informações relevantes dadas: n= 50 , x= 42 , estimador amostral da proporção \hat p = x/n. O objetivo principal é testar a afirmação p>0,9.

Passo 2

Escolha do método de resolução (explicação didática): vamos usar o teste de proporção unilateral (teste z para proporção), que é o método padrão para testar hipóteses sobre uma proporção quando n é razoavelmente grande. Não há indicação no enunciado de usar outro método, e como estamos em um curso de exatas e temos n=50 com n p_0 = 50\times 0,9 = 45 \ge 5 e n(1-p_0)=50\times 0,1=5 (limite aceitável), a aproximação normal ao binomial é aceitável. Vou também mostrar como obter o p-valor exato pelo binomial usando R (comando indicado), mas o cálculo manual será feito pela aproximação normal (z).
Observação: quando houver dúvida entre várias abordagens, escolhemos a mais básica e ensinável — aqui o teste z — porque é o que se espera em provas de estatística básica.

Passo 3

Definição das hipóteses (escrever explicitamente o que será testado):
H_0: p = 0,9
H_1: p > 0,9
Comentário rápido sobre por que estas hipóteses: a propaganda afirma que a taxa de cura é maior que 90\%, então a hipótese alternativa é unilateral para cima. Em testes de proporção é comum usar H_0: p=p_0 (ou p\le p_0) e H_1 conforme a afirmação que se quer investigar.

Passo 4

Calcular a estatística de teste e explicar a fórmula em detalhe.
  • Estimador amostral da proporção:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{42}{50} = 0,84.
Expliquei: \hat p é a proporção observada de sucessos (cura) na amostra; aqui x= 42 sucessos em n= 50 pacientes.
  • Fórmula da estatística Z (teste z para proporção, usando p_0 na variância sob H_0):
Z \;=\; \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}.
Explicação das partes:
  • \hat p é a proporção observada (definida acima).
  • p_0 é o valor da proporção sob H_0 (aqui p_0=0,9).
  • O denominador \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} é o erro padrão da proporção quando assumimos H_0 verdadeiro; ele quantifica a variabilidade esperada de \hat p devido ao acaso.
  • Cálculo numérico passo a passo:
    1. Calcular p_0(1-p_0):
    p_0(1-p_0) = 0,9\times 0,1 = 0,09.
    1. Dividir por n:
    \frac{0,09}{50} = 0,0018.
    1. Extrair a raiz quadrada (erro padrão):
    \sqrt{0,0018} \approx 0,042426.
    1. Diferença \hat p - p_0:
    0,84 - 0,9 = -0,06.
    1. Estatística Z:
    Z = \frac{-0,06}{0,042426} \approx -1,4142.
Interpretação: Z mede quantos desvios-padrão a proporção observada está acima ou abaixo de p_0. Um Z negativo indica que \hat p está abaixo de p_0, ou seja, a amostra sugere taxa de cura menor que 90\%.

Passo 5

Cálculo do p-valor (unilateral para H_1: p>0,9) e decisão com nível de significância \alpha=0,01.
  • Para hipótese alternativa unilateral p>p_0, o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de obter uma estatística tão favorável à alternativa quanto a observada. Como a alternativa é “maior”, valores favoráveis são Z grandes e positivos. Nosso Z observado é -1,4142 (negativo), ou seja, o resultado está no sentido oposto ao da alternativa; portanto o p-valor será grande (perto de 1). Usando a aproximação normal:
\text{p-valor} = P\big(Z_{N(0,1)} \ge -1,4142\big) = 1 - \Phi(-1,4142).
Sabendo que \Phi(-1,4142)\approx 0,07865, obtemos
\text{p-valor} \approx 1 - 0,07865 = 0,92135.
  • Em R, para calcular o p-valor exato binomial (mais preciso) pode-se usar o comando (indicativo):
No R: pbinom \,(41,50,0,9,\text{lower.tail}=FALSE)\,
Explicação: isto calcula P(X\ge 42) quando X\sim\text{Binomial}(n=50,p=0,9), que é o p-valor exato para a alternativa unilateral p>0,9. (Na aproximação normal obtivemos \approx 0,9214, e o p-valor exato será da mesma ordem.)
  • Região crítica para \alpha=0,01: calcular o quantil crítico da normal padrão
z_{1-\alpha} = z_{0,99} \approx 2,3263.
Rejeitamos H_0 se Z > 2,3263. Aqui Z_{\text{obs}}\approx -1,4142, portanto não rejeitamos H_0.
  • Alternativa em termos de proporção observada: o valor crítico de \hat p que levaria à rejeição é
\hat p_{\text{crit}} = p_0 + z_{1-\alpha}\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} \approx 0,9 + 2,3263\times 0,042426 \approx 0,9987.
Ou seja, na amostra teríamos que observar \hat p maior que aproximadamente 0,9987 (quase 99,87\%) para rejeitar H_0 ao nível 1\% — tarefa praticamente impossível com n=50. Como \hat p = 0,84, estamos MUITO longe do necessário para rejeitar.

Passo 6

Interpretação das decisões e significados dos erros no contexto do experimento.
  • Erro Tipo I (falso positivo): é o erro de rejeitar H_0 quando H_0 é verdadeira. Neste contexto, cometer Erro Tipo I significaria concluir — pela amostra — que a cura é maior do que 90\% quando, na realidade, a taxa verdadeira de cura é 90\% (ou menor, dependendo do enunciado de igualdade/inequidade). O nível de significância \alpha é a probabilidade máxima de cometer esse erro; aqui foi fixado \alpha=0,01 (1%).
  • Erro Tipo II (falso negativo): é o erro de não rejeitar H_0 quando H_1 é verdadeira. Neste experimento, cometer Erro Tipo II significaria não aceitar a propaganda (não rejeitar H_0) quando, na verdade, a taxa verdadeira de cura é realmente maior que 90\%. A probabilidade de cometer o Erro Tipo II é \beta; a potência do teste é 1-\beta.
  • Qual dos erros estamos mais propensos a cometer aqui? Como \hat p = 0,84 < 0,9, os dados vão contra a afirmação do laboratório; o teste não rejeita H_0 (que é a fronteira para a afirmação), então, na prática, estamos sujeitos a possivelmente cometer Erro Tipo II caso de fato p seja um pouco maior que 0,9. Mas dado o \hat p observado, é mais razoável concluir que não há evidência da afirmação.

Passo 7

Existe alguma forma de reduzir os dois tipos de erro ao mesmo tempo?
  • Regra geral: para um teste fixo e para um dado tamanho amostral, há um trade-off entre Erro Tipo I ( \alpha) e Erro Tipo II ( \beta): diminuir \alpha normalmente aumenta \beta (aumenta a chance de não detectar um efeito real). Portanto, não é possível reduzir simultaneamente \alpha e \beta sem mudar alguma outra coisa.
  • Como reduzir ambos na prática? A principal maneira é aumentar o tamanho da amostra n. Com amostra maior, o erro padrão diminui, o que permite obter tanto um baixo \alpha quanto uma baixa \beta (maior potência). Outra forma é melhorar o desenho do estudo para reduzir variabilidade (por ex., critérios mais homogêneos de inclusão, medidas mais precisas). Exemplo numérico rápido: supondo que queiramos detectar uma proporção verdadeira p_1=0,95 contra p_0=0,9 com \alpha=0,01 e potência 0,8 ( \beta=0,2), a fórmula aproximada de tamanho de amostra dá
n \approx \frac{\big(z_{1-\alpha}\sqrt{p_0(1-p_0)} + z_{1-\beta}\sqrt{p_1(1-p_1)}\big)^2}{(p_1-p_0)^2}.
Substituindo z_{1-\alpha}\approx 2,3263, z_{1-\beta}\approx 0,8416, p_0=0,9, p_1=0,95, obtemos n\approx 311. Ou seja, precisaríamos de uma amostra bem maior (~311) para ter chance razoável de detectar uma diferença de 5 pontos percentuais com \alpha=1\%.

Passo 8

Conclusão final assumindo nível de significância \alpha=1\%.
  • Estatística observada: Z_{\text{obs}}\approx -1,4142.
  • Valor crítico: z_{0,99}\approx 2,3263.
  • p-valor (aprox. normal): \approx 0,9214.
  • Decisão: como Z_{\text{obs}} \le z_{0,99} e o p-valor é muito maior que 0,01, não rejeitamos H_0.
Interpretação prática: com os dados da amostra ( 42 curas em 50 pacientes, \hat p=0,84), não há evidência estatística de que a proporção de cura seja maior que 90\% ao nível de significância de 1\%. Pelo contrário, a proporção observada é menor que 90\%. Se quisermos ter poder para detectar com segurança uma proporção verdadeira ligeiramente acima de 90\%, seria necessário aumentar muito a amostra.

Resposta

Decisão do teste (com \alpha=0,01): Não rejeitar H_0. p-valor (aprox. normal unilateral) \approx 0,9214. Não há evidência de que a cura seja maior que 90\%; a proporção observada é \hat p=0,84.
Existe forma de reduzir ambos os erros ao mesmo tempo? Em geral, não sem mudar o desenho do estudo; aumentar o tamanho da amostra ou reduzir a variabilidade permite reduzir simultaneamente \alpha e \beta (ex.: para detectar p=0,95 contra p_0=0,9 com \alpha=0,01 e potência 0,8 seria necessário n\approx 311).
O que significam os erros aqui? Erro Tipo I: concluir que a cura é >90\% quando na verdade p\le 0,9. Erro Tipo II: não concluir que a cura é >90\% quando na verdade p>0,9.

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