Ex 2. (Resolva utilizando o R) Sabe-se que em indivíduos saudáveis a concentração média de certa enzima no plasma é de 19 unidades. Em uma amostra de indivíduos anêmicos, as medidas das enzimas foram:
7
6
10
10
11
16
7
14
6
25
30
24
8
7
Sabe-se que a distribuição Normal não pode ser considerada para esta variável. Com base nestas informações, existem evidências de que indivíduos anêmicos apresentam alterações nos níveis da enzima? Justifique.
| 7 | 6 | 10 | 10 | 11 | 16 | 7 |
| 14 | 6 | 25 | 30 | 24 | 8 | 7 |
Passo 1
O enunciado pergunta se, com base numa amostra de indivíduos anêmicos, existem evidências de que esses indivíduos apresentam alterações nos níveis da enzima (comparados ao valor conhecido para indivíduos saudáveis, que é
, unidades). Dados fornecidos (amostra de medidas em indivíduos anêmicos):
Informação importante: a distribuição Normal NÃO pode ser considerada para essa variável (ou seja, não devemos usar testes paramétricos que assumam normalidade sem cautela). A pergunta final é: existem evidências (estatísticas) de alteração nos níveis da enzima nos anêmicos? (ou seja, testar se o valor central da população anêmica difere de
,).
Passo 2
Escolha do teste e justificativa (explicação didática): como a normalidade não é válida e queremos comparar a tendência central da amostra com um valor conhecido (
), o teste apropriado é o teste de postos sinalizados de Wilcoxon (Wilcoxon signed-rank test) para uma amostra. Esse teste verifica se a mediana da população é igual a um valor específico sem assumir normalidade completa; usa as diferenças em módulo e suas posições (ranks) para formar a estatística. Em R o comando para fazer esse teste é, por exemplo,
onde
é o vetor de observações. Vou agora mostrar passo a passo como o teste funciona “na mão” (o R faz algo equivalente internamente).
Passo 3
Primeiro calculei a mediana amostral para ver a direção da possível alteração. Ordenando a amostra:
Como há
observações, a mediana é a média da
e
observações:
Observação prática: a mediana amostral
é bem menor que
, já sugerindo uma redução nos níveis da enzima em anêmicos. Mas precisamos do teste para saber se essa diferença é estatisticamente significante.
Passo 4
Construção das diferenças e dos ranks (passo a passo):
- Para cada observação
calculamos . - Excluímos diferenças iguais a zero (não há nenhum
neste caso). - Tomamos
e ordenamos para atribuir ranks; empates recebem o rank médio.
Listei as diferenças
:
Agora, atribuí ranks a
(do menor para o maior), tratando empates com rank médio. Os ranks finais ficam:
Somamos os ranks com sinais de acordo com
. Soma dos ranks positivos (W+): observações com
são
,
e
com ranks
. Assim
(Soma total dos ranks de
a
é
, então a soma dos ranks negativos
é
.)
Passo 5
Distribuição sob
e cálculo do p-valor (aproximação normal com correção de continuidade):
- Sob
(mediana igual a ), a esperança de é
onde
é o número de diferenças não-nulas (
). Logo
- A variância é
Desvio-padrão
.
Usando aproximação normal com correção de continuidade (recomendado quando há empates e
não é muitíssimo pequeno), o escore
para o valor observado
é
Probabilidade unilateral associada:
. Como queremos teste bilateral (alteração, não especificada a direção), o p-valor bilateral é aproximadamente
Portanto, ao nível
temos p-valor menor que
, indicando evidência significativa de que a mediana difere de
.
Passo 6
Como executar e interpretar em R (prático e rápido):
- Código em R:
- Saída típica (aproximação com correção de continuidade por causa de empates) mostrará algo como:
Interpretação: p-valor
, rejeitamos
de mediana igual a
. Observação prática: a mediana amostral foi
, bem menor que
, então a evidência mostra uma redução nos níveis da enzima em anêmicos.
Passo 7
Conclusão estatística e interpretação em linguagem simples e incentivadora: com base no teste de Wilcoxon para uma amostra (não paramétrico) obtemos p-valor aproximado
, portanto há evidências estatísticas de que indivíduos anêmicos apresentam níveis de enzima diferentes dos indivíduos saudáveis. A direção da diferença na amostra indica uma redução (mediana amostral
contra
). Boa notícia: você já tem o raciocínio completo para justificar no teste — descreve os passos, mostra o código R e interpreta o p-valor. Vamos que dá pra apresentar isso com confiança na prova!
Resposta
Sim. Teste de Wilcoxon signed-rank:
, p-valor
. Há evidências de alteração; mediana amostral
(redução em relação a
).