Ex 2. (Resolva utilizando o R) Sabe-se que em indivíduos saudáveis a concentração média de certa enzima no plasma é de 19 unidades. Em uma amostra de indivíduos anêmicos, as medidas das enzimas foram:
7 6 10 10 11 16 7
14 6 25 30 24 8 7
Sabe-se que a distribuição Normal não pode ser considerada para esta variável. Com base nestas informações, existem evidências de que indivíduos anêmicos apresentam alterações nos níveis da enzima? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, com base numa amostra de indivíduos anêmicos, existem evidências de que esses indivíduos apresentam alterações nos níveis da enzima (comparados ao valor conhecido para indivíduos saudáveis, que é \,19, unidades). Dados fornecidos (amostra de medidas em indivíduos anêmicos):
7,\;6,\;10,\;10,\;11,\;16,\;7,\;14,\;6,\;25,\;30,\;24,\;8,\;7.
Informação importante: a distribuição Normal NÃO pode ser considerada para essa variável (ou seja, não devemos usar testes paramétricos que assumam normalidade sem cautela). A pergunta final é: existem evidências (estatísticas) de alteração nos níveis da enzima nos anêmicos? (ou seja, testar se o valor central da população anêmica difere de \,19,).

Passo 2

Escolha do teste e justificativa (explicação didática): como a normalidade não é válida e queremos comparar a tendência central da amostra com um valor conhecido ( 19), o teste apropriado é o teste de postos sinalizados de Wilcoxon (Wilcoxon signed-rank test) para uma amostra. Esse teste verifica se a mediana da população é igual a um valor específico sem assumir normalidade completa; usa as diferenças em módulo e suas posições (ranks) para formar a estatística. Em R o comando para fazer esse teste é, por exemplo,
\texttt{wilcox.test(x, mu = 19, alternative = "two.sided")}
onde \texttt{x} é o vetor de observações. Vou agora mostrar passo a passo como o teste funciona “na mão” (o R faz algo equivalente internamente).

Passo 3

Primeiro calculei a mediana amostral para ver a direção da possível alteração. Ordenando a amostra:
6,\;6,\;7,\;7,\;7,\;8,\;10,\;10,\;11,\;14,\;16,\;24,\;25,\;30.
Como há 14 observações, a mediana é a média da 7^\text{a} e 8^\text{a} observações:
\text{mediana amostral}=\frac{10+10}{2}=10.
Observação prática: a mediana amostral \,10 é bem menor que \,19, já sugerindo uma redução nos níveis da enzima em anêmicos. Mas precisamos do teste para saber se essa diferença é estatisticamente significante.

Passo 4

Construção das diferenças e dos ranks (passo a passo):
  1. Para cada observação x_i calculamos d_i = x_i-19.
  2. Excluímos diferenças iguais a zero (não há nenhum x_i=19 neste caso).
  3. Tomamos |d_i| e ordenamos para atribuir ranks; empates recebem o rank médio.
Listei as diferenças (x_i,\\ d_i,\\ |d_i|):
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }c} 7,& d=-12,& |d|=12\\\\ 6,& d=-13,& |d|=13\\\\ 10,& d=-9,& |d|=9\\\\ 10,& d=-9,& |d|=9\\\\ 11,& d=-8,& |d|=8\\\\ 16,& d=-3,& |d|=3\\\\ 7,& d=-12,& |d|=12\\\\ 14,& d=-5,& |d|=5\\\\ 6,& d=-13,& |d|=13\\\\ 25,& d=+6,& |d|=6\\\\ 30,& d=+11,& |d|=11\\\\ 24,& d=+5,& |d|=5\\\\ 8,& d=-11,& |d|=11\\\\ 7,& d=-12,& |d|=12\\\ \end{array}
Agora, atribuí ranks a |d_i| (do menor para o maior), tratando empates com rank médio. Os ranks finais ficam:
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }c@{\\ }c} x_i,& d_i,& |d_i|,& \text{rank} \\\\ 7,& -12,& 12,& 11\\\\ 6,& -13,& 13,& 13{,}5\\\\ 10,& -9,& 9,& 6{,}5\\\\ 10,& -9,& 9,& 6{,}5\\\\ 11,& -8,& 8,& 5\\\\ 16,& -3,& 3,& 1\\\\ 7,& -12,& 12,& 11\\\\ 14,& -5,& 5,& 2{,}5\\\\ 6,& -13,& 13,& 13{,}5\\\\ 25,& +6,& 6,& 4\\\\ 30,& +11,& 11,& 8{,}5\\\\ 24,& +5,& 5,& 2{,}5\\\\ 8,& -11,& 11,& 8{,}5\\\\ 7,& -12,& 12,& 11\\\ \end{array}
Somamos os ranks com sinais de acordo com d_i. Soma dos ranks positivos (W+): observações com d_i>0 são 25, 30 e 24 com ranks 4,\\\ 8{,}5,\\\ 2{,}5. Assim
W_+ = 4 + 8{,}5 + 2{,}5 = 15.
(Soma total dos ranks de 1 a 14 é 105, então a soma dos ranks negativos W_- é 105-15=90.)

Passo 5

Distribuição sob H_0 e cálculo do p-valor (aproximação normal com correção de continuidade):
  • Sob H_0 (mediana igual a \,19), a esperança de W_+ é
E(W_+) = \frac{n(n+1)}{4},
onde n é o número de diferenças não-nulas ( n=14). Logo
E(W_+) = \frac{14\cdot15}{4}=52{,}5.
  • A variância é
\operatorname{Var}(W_+) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} = \frac{14\cdot15\cdot29}{24}=253{,}75.
Desvio-padrão \sigma=\sqrt{253{,}75}\approx 15{,}93.
Usando aproximação normal com correção de continuidade (recomendado quando há empates e n não é muitíssimo pequeno), o escore z para o valor observado W_+=15 é
z \approx \frac{W_+ + 0{,}5 - E(W_+)}{\sigma} = \frac{15 + 0{,}5 - 52{,}5}{15{,}93} = \frac{-37}{15{,}93}\approx -2{,}323.
Probabilidade unilateral associada: \Phi(-2{,}323)\approx 0{,}0101. Como queremos teste bilateral (alteração, não especificada a direção), o p-valor bilateral é aproximadamente
\text{p-valor}\approx 2\cdot 0{,}0101 \approx 0{,}0202.
Portanto, ao nível \alpha=0{,}05 temos p-valor menor que 0{,}05, indicando evidência significativa de que a mediana difere de \,19.

Passo 6

Como executar e interpretar em R (prático e rápido):
  • Código em R:
\texttt{x <- c(7,6,10,10,11,16,7,14,6,25,30,24,8,7)}\\\ \texttt{wilcox.test(x, mu = 19, alternative = "two.sided")}
  • Saída típica (aproximação com correção de continuidade por causa de empates) mostrará algo como:
\text{V = 15, p-value ≈ 0.0202}
Interpretação: p-valor \approx 0{,}02<0{,}05, rejeitamos H_0 de mediana igual a \,19. Observação prática: a mediana amostral foi \,10, bem menor que \,19, então a evidência mostra uma redução nos níveis da enzima em anêmicos.

Passo 7

Conclusão estatística e interpretação em linguagem simples e incentivadora: com base no teste de Wilcoxon para uma amostra (não paramétrico) obtemos p-valor aproximado \,0{,}02, portanto há evidências estatísticas de que indivíduos anêmicos apresentam níveis de enzima diferentes dos indivíduos saudáveis. A direção da diferença na amostra indica uma redução (mediana amostral \,10 contra \,19). Boa notícia: você já tem o raciocínio completo para justificar no teste — descreve os passos, mostra o código R e interpreta o p-valor. Vamos que dá pra apresentar isso com confiança na prova!

Resposta

Sim. Teste de Wilcoxon signed-rank: V=15, p-valor \approx 0{,}02 < 0{,}05. Há evidências de alteração; mediana amostral =10 (redução em relação a 19).

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