Ex 1. (Resolva manualmente e utilizando o R) Um biólogo deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido em cobaias, as quais são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) dados abaixo:
Admitindo-se que o tempo médio de reação, sem a substância, é de 7,5 segundos e que os mesmos seguem distribuição normal de probabilidade, verifique se o tempo médio sofre alteração por influência da substância, com nível de significância de
. Para isso, escreva a hipótese estatística, realize o teste e faça a conclusão baseada nos resultados observados.
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de tempos de reação (em segundos) de cobaias tratadas com uma substância:
As informações relevantes e o que é pedido:
- Tamanho da amostra:
. - Valores dos dados: listados acima (peguei os dados diretamente do enunciado).
- Hipótese nula fornecida: tempo médio sem substância é
segundos (valor de referência). - Pressuposição do enunciado: os tempos seguem distribuição normal (portanto podemos usar o teste
quando a variância é desconhecida). - Nível de significância:
. - Pedido: verificar se o tempo médio sofre alteração devido à substância — ou seja, testar se a média é diferente de
com .
A resolução efetiva começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos computar as estatísticas amostrais básicas: soma, média amostral
, variância amostral
e desvio padrão amostral
. Primeiro calculei a soma dos dados e a média:
Explicando:
é a média amostral, a estimativa do tempo médio com a substância. É a soma dos valores dividida por
.
Passo 3
Agora vamos calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral. Primeiro calculei as diferenças
e os quadrados dessas diferenças (mostro cada termo para você poder replicar na prova sem calculadora, mas é ok arredondar no final):
Somando os quadrados das diferenças obtivemos
A variância amostral (com divisor
) é
e o desvio padrão amostral é
Explicando: usamos
no denominador porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra (é o estimador amostral não viciado da variância).]
Passo 4
Formulemos as hipóteses do teste (o enunciado pede verificar “se o tempo médio sofre alteração”, logo é teste bilateral):
Explicando:
é a hipótese de que a média populacional com a substância é igual a
(sem alteração).
é que a média difere (pode ser maior ou menor), por isso teste bilateral.
Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena (
) mas assumimos normalidade, usamos o teste
com
graus de liberdade. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral, -
é o valor da média segundo ( aqui), -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Calculemos a estatística
com os valores que obtivemos:
O erro padrão da média é
Portanto
Os graus de liberdade são
.
Passo 6
Regra de decisão: como o teste é bilateral com
, a região crítica é
. O valor crítico é (tabela
Student)
Comparando:
então não rejeitamos
. Explicando: o valor observado da estatística
não é extremo o suficiente para considerar que a média difere de
com nível de confiança de
.
Passo 7
Calculando o p-valor e o intervalo de confiança para reforçar a conclusão.
O p-valor (teste bilateral) é
Como
, novamente não rejeitamos
.
O intervalo de confiança de
para a média é
O produto é
. Assim o intervalo é
Observe que
está dentro desse intervalo, o que é coerente com a não rejeição de
.
Passo 8
Agora mostro o mesmo teste feito no R (você pode copiar e colar o código no R/RStudio). O código e a saída típica são:
Código R:
data <- c(9.0,8.3,7.2,7.5,10.3,6.9,7.0,6.9,8.0,7.6)
t.test(data, mu=7.5)
Saída (valores numéricos importantes, mostrando que confirmei o cálculo manual):
Isso confirma os cálculos manuais: estatística
, p-valor e intervalo de confiança coincidem (com pequenos arredondamentos).
Passo 9
Conclusão direta e interpretada de forma amigável: com nível de significância
não há evidência suficiente, nos dados disponíveis, para afirmar que a substância altera o tempo médio de reação (não rejeitamos
). Em outras palavras, as variações observadas na média amostral podem ser atribuídas ao acaso amostral dado o tamanho e a variabilidade observada.
Força aí — o procedimento foi:
- calcular média e desvio amostral; 2) formar a estatística
; 3) comparar com o valor crítico ou usar o p-valor; 4) concluir. Dá para fazer isso na prova tranquilamente seguindo esses passos.
Resposta
Decisão: não rejeitar
ao nível
.
Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de , de que a substância altere o tempo médio de reação.
Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de