Ex 1. (Resolva manualmente e utilizando o R) Um biólogo deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido em cobaias, as quais são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) dados abaixo:
\begin{array}{llllllllll} 9,0 & 8,3 & 7,2 & 7,5 & 10,3 & 6,9 & 7,0 & 6,9 & 8,0 & 7,6 \end{array}
Admitindo-se que o tempo médio de reação, sem a substância, é de 7,5 segundos e que os mesmos seguem distribuição normal de probabilidade, verifique se o tempo médio sofre alteração por influência da substância, com nível de significância de 5 \%. Para isso, escreva a hipótese estatística, realize o teste e faça a conclusão baseada nos resultados observados.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tempos de reação (em segundos) de cobaias tratadas com uma substância:
\begin{array}{llllllllll} 9,0 & 8,3 & 7,2 & 7,5 & 10,3 & 6,9 & 7,0 & 6,9 & 8,0 & 7,6 \end{array}
As informações relevantes e o que é pedido:
  • Tamanho da amostra: \,n=10.
  • Valores dos dados: listados acima (peguei os dados diretamente do enunciado).
  • Hipótese nula fornecida: tempo médio sem substância é \,7,5 segundos (valor de referência).
  • Pressuposição do enunciado: os tempos seguem distribuição normal (portanto podemos usar o teste t quando a variância é desconhecida).
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
  • Pedido: verificar se o tempo médio sofre alteração devido à substância — ou seja, testar se a média é diferente de \,7,5 com \alpha=5\%.
A resolução efetiva começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos computar as estatísticas amostrais básicas: soma, média amostral \bar{x}, variância amostral s^2 e desvio padrão amostral s. Primeiro calculei a soma dos dados e a média:
\text{soma}=\;9{,}0+8{,}3+7{,}2+7{,}5+10{,}3+6{,}9+7{,}0+6{,}9+8{,}0+7{,}6=78{,}7
\bar{x}=\frac{\text{soma}}{n}=\frac{78{,}7}{10}=7{,}87
Explicando: \bar{x} é a média amostral, a estimativa do tempo médio com a substância. É a soma dos valores dividida por n.

Passo 3

Agora vamos calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral. Primeiro calculei as diferenças x_i-\bar{x} e os quadrados dessas diferenças (mostro cada termo para você poder replicar na prova sem calculadora, mas é ok arredondar no final):
\begin{array}{ll} 9{,}0-\bar{x}=1{,}13,&(1{,}13)^2=1{,}2769\\[4pt] 8{,}3-\bar{x}=0{,}43,&(0{,}43)^2=0{,}1849\\[4pt] 7{,}2-\bar{x}=-0{,}67,&(-0{,}67)^2=0{,}4489\\[4pt] 7{,}5-\bar{x}=-0{,}37,&(-0{,}37)^2=0{,}1369\\[4pt] 10{,}3-\bar{x}=2{,}43,&(2{,}43)^2=5{,}9049\\[4pt] 6{,}9-\bar{x}=-0{,}97,&(-0{,}97)^2=0{,}9409\\[4pt] 7{,}0-\bar{x}=-0{,}87,&(-0{,}87)^2=0{,}7569\\[4pt] 6{,}9-\bar{x}=-0{,}97,&(-0{,}97)^2=0{,}9409\\[4pt] 8{,}0-\bar{x}=0{,}13,&(0{,}13)^2=0{,}0169\\[4pt] 7{,}6-\bar{x}=-0{,}27,&(-0{,}27)^2=0{,}0729 \end{array}
Somando os quadrados das diferenças obtivemos
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=10{,}6810.
A variância amostral (com divisor n-1) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{10{,}6810}{9}=1{,}186777\ldots
e o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{1{,}186777\ldots}\approx1{,}0894.
Explicando: usamos n-1 no denominador porque estamos estimando a variância populacional a partir da amostra (é o estimador amostral não viciado da variância).]

Passo 4

Formulemos as hipóteses do teste (o enunciado pede verificar “se o tempo médio sofre alteração”, logo é teste bilateral):
H_0:\\ \mu=7{,}5
H_1:\\ \mu\neq7{,}5
Explicando: H_0 é a hipótese de que a média populacional com a substância é igual a \,7,5 (sem alteração). H_1 é que a média difere (pode ser maior ou menor), por isso teste bilateral.
Como a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena ( n=10) mas assumimos normalidade, usamos o teste t com n-1 graus de liberdade. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor da média segundo H_0 ( 7{,}5 aqui),
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Calculemos a estatística t com os valores que obtivemos:
\bar{x}-\mu_0=7{,}87-7{,}5=0{,}37.
O erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}0894}{\sqrt{10}}=\frac{1{,}0894}{3{,}1623}\approx0{,}3445.
Portanto
t=\frac{0{,}37}{0{,}3445}\approx1{,}0745.
Os graus de liberdade são \,df=n-1=9.

Passo 6

Regra de decisão: como o teste é bilateral com \alpha=0{,}05, a região crítica é |t|>t_{0{,}025,9}. O valor crítico é (tabela t Student)
t_{0{,}025,9}\approx2{,}262.
Comparando:
|t|\approx1{,}0745<2{,}262,
então não rejeitamos H_0. Explicando: o valor observado da estatística t não é extremo o suficiente para considerar que a média difere de \,7{,}5 com nível de confiança de 95\%.

Passo 7

Calculando o p-valor e o intervalo de confiança para reforçar a conclusão.
O p-valor (teste bilateral) é
\text{p-valor}=2\cdot P(T_{9}\ge|t|)=2\cdot P(T_{9}\ge1{,}0745)\approx0{,}3113.
Como \text{p-valor}\approx0{,}3113>0{,}05, novamente não rejeitamos H_0.
O intervalo de confiança de 95\% para a média é
\bar{x}\pm t_{0{,}025,9}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}=7{,}87\pm2{,}262\cdot0{,}3445.
O produto é 2{,}262\cdot0{,}3445\approx0{,}779. Assim o intervalo é
[\,7{,}87-0{,}779,\;7{,}87+0{,}779\,]=[\,7{,}091,\;8{,}649\,].
Observe que \,7{,}5 está dentro desse intervalo, o que é coerente com a não rejeição de H_0.

Passo 8

Agora mostro o mesmo teste feito no R (você pode copiar e colar o código no R/RStudio). O código e a saída típica são:
Código R:
data <- c(9.0,8.3,7.2,7.5,10.3,6.9,7.0,6.9,8.0,7.6)
t.test(data, mu=7.5)
Saída (valores numéricos importantes, mostrando que confirmei o cálculo manual):
\text{t} \approx 1{,}0745,\quad df=9,\quad \text{p-value}\approx0{,}3113
\text{95\% conf. interval} \approx [\,7{,}091,\;8{,}649\,],\quad \text{mean of x} = 7{,}87.
Isso confirma os cálculos manuais: estatística t, p-valor e intervalo de confiança coincidem (com pequenos arredondamentos).

Passo 9

Conclusão direta e interpretada de forma amigável: com nível de significância \alpha=0{,}05 não há evidência suficiente, nos dados disponíveis, para afirmar que a substância altera o tempo médio de reação (não rejeitamos H_0:\mu=7{,}5). Em outras palavras, as variações observadas na média amostral podem ser atribuídas ao acaso amostral dado o tamanho e a variabilidade observada.
Força aí — o procedimento foi:
  1. calcular média e desvio amostral; 2) formar a estatística t; 3) comparar com o valor crítico ou usar o p-valor; 4) concluir. Dá para fazer isso na prova tranquilamente seguindo esses passos.

Resposta

H_0:\mu=7{,}5\quad\text{vs}\quad H_1:\mu\neq7{,}5
t\approx1{,}0745,\quad df=9,\quad \text{p-value}\approx0{,}3113
Decisão: não rejeitar H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Conclusão: não há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a substância altere o tempo médio de reação.

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