Resolva em \mathbb{R} as equações irracionais:
\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação irracional
\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} = 2.
O conteúdo principal envolve (i) determinar o domínio em que as raízes existem, (ii) manipular somas de radicais e (iii) isolar termos elevando ao quadrado.

Passo 2

Para as expressões \sqrt{1+x} e \sqrt{1-x} estarem definidas em \mathbb{R}, precisamos ter
1 + x \ge 0 \quad\text{e}\quad 1 - x \ge 0,
ou seja
-1 \le x \le 1.

Passo 3

Definimos
a = \sqrt{1+x}, \quad b = \sqrt{1-x},
com a\ge0 e b\ge0. A equação vira
a + b = 2.
Elevando ao quadrado,
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 4.
Mas a^2 + b^2 = (1+x)+(1-x)=2, logo
2 + 2ab = 4 \quad\Longrightarrow\quad ab = 1.
Isso implica
\sqrt{(1+x)(1-x)} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 - x^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - x^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.

Passo 4

Verificamos que x=0 está no domínio [-1,1] e substituindo na equação original obtemos
\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0} = 1 + 1 = 2,
portanto é solução válida.

Resposta

0

Exercícios relacionados