81 Resolva a equação 1-\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}=\mathrm{x}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
1 - \sqrt{1 - x^2} = x^2.
O conteúdo aqui é equação com raiz quadrada: vamos determinar o domínio, isolar a raiz, elevar ao quadrado e filtrar eventuais raízes extrusas.

Passo 2

Para a expressão \sqrt{1 - x^2} fazer sentido real, precisamos de
1 - x^2 \ge 0
ou seja
-1 \le x \le 1.

Passo 3

Isolamos a raiz:
\sqrt{1 - x^2} = 1 - x^2.
No intervalo [-1,1], o lado esquerdo é não negativo, e o lado direito também será não negativo (pois 1 - x^2\ge0). Portanto podemos elevar ao quadrado sem mudar sinais.

Passo 4

Elevando ao quadrado:
1 - x^2 = (1 - x^2)^2.
Para simplificar, defina y = x^2. A equação vira
1 - y = (1 - y)^2 \quad\Longrightarrow\quad 1 - y = 1 - 2y + y^2 \quad\Longrightarrow\quad 0 = y^2 - y \quad\Longrightarrow\quad y(y - 1) = 0.
Assim y = 0 ou y = 1. Voltando a x, temos
x^2 = 0 \implies x = 0, \quad x^2 = 1 \implies x = \pm 1.

Passo 5

Só resta verificar na equação original:
  • Para x=0: 1 - \sqrt{1-0}=1-1=0 e 0^2=0. OK.
  • Para x=1: 1 - \sqrt{1-1}=1-0=1 e 1^2=1. OK.
  • Para x=-1: 1 - \sqrt{1-(-1)^2}=1-0=1 e (-1)^2=1. OK.
Todos os três estão no domínio e satisfazem a equação.

Resposta

As soluções são
x = -1,\;0,\;1.

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