Resolva, em \mathbb{R}, as equações modulares.
|2 x-5|=3

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
|2x-5|=3.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do módulo é 2x-5.
  • O lado direito é o número 3.
  • A incógnita é x e devemos encontrar todos os números reais que satisfazem a equação.

Passo 2

O que significa o módulo (valor absoluto)? Para qualquer número real a\) vale: \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Uma propriedade prática muito usada é: se |A|=B\] e \(B\ge 0, então necessariamente
A = B \quad\text{ou}\quad A = -B.
Aqui A é a expressão dentro do módulo (no nosso caso A=2x-5) e B é o número não-negativo à direita (no nosso caso B=3). Exemplo rápido: |t|=4 implica t=4 ou t=-4.]

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso problema, com A=2x-5 e B=3 (note que 3\ge 0), obtemos as duas equações lineares:
2x-5 = 3 \qquad\text{ou}\qquad 2x-5 = -3.

Passo 4

Resolver a primeira equação 2x-5=3.
Passo a passo:
  • Somar 5 em ambos os lados para isolar o termo com x:
2x = 3+5.
  • Calcular o somatório:
2x = 8.
  • Dividir ambos os lados por 2 (divisão por número diferente de zero preserva a igualdade):
x = \frac{8}{2}.
  • Simplificando,
x = 4.

Passo 5

Resolver a segunda equação 2x-5=-3.
Passo a passo:
  • Somar 5 em ambos os lados:
2x = -3+5.
  • Calcular:
2x = 2.
  • Dividir por 2:
x = \frac{2}{2}.
  • Simplificando,
x = 1.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar num problema com módulo):
  • Para x=4: 2x-5 = 2\cdot4-5 = 8-5 = 3. Então |2x-5| = |3| = 3, que satisfaz a equação.
  • Para x=1: 2x-5 = 2\cdot1-5 = 2-5 = -3. Então |2x-5| = |-3| = 3, que também satisfaz a equação.
    Ambos são soluções válidas.

Resposta

x=1
x=4

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