Seja a \geq 0 um real. Então:
\sqrt{\mathrm{a}}=\mathrm{b} \Leftrightarrow \mathrm{~b}^{2}=\mathrm{a} \text { e } \mathrm{b} \geq \mathbf{0} .
Mostre que, para todo x real, \sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 1

O enunciado nos dá a definição da raiz quadrada para um real não negativo: para a\ge 0,
\sqrt{a}=b \iff b^{2}=a\\ \text{ e }\\ b\ge 0.
O que se pede: provar que, para todo x\in\mathbb{R},
\sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 2

Estratégia (bem simples): aplicar a definição da raiz quadrada com a=x^{2}\) e usar a definição do valor absoluto. Vou lembrar a definição do valor absoluto de forma clara: \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Então vou analisar separadamente os dois casos x\ge0\] e \(x<0, mostrar em cada caso qual é o número b\ge0 tal que b^{2}=x^{2}, e verificar que esse b coincide com |x|.]

Passo 3

Caso x\ge 0.
Pela definição, \sqrt{x^{2}} é o número b tal que
b^{2}=x^{2}\quad\text{e}\quad b\ge 0.
As soluções da equação b^{2}=x^{2} são obtidas fatorando:
b^{2}-x^{2}=(b-x)(b+x)=0 \implies b=x \text{ ou } b=-x.
Como estamos no caso x\ge 0, tem-se x\ge 0 e -x\le 0. A condição adicional b\ge 0 elimina b=-x (quando -x\le 0 não pode ser estritamente positivo a menos que x=0, mas mesmo assim a escolha de b\ge0 b=x). Portanto o único b admissível é b=x. Assim
\sqrt{x^{2}}=x.
Comparando com a definição do valor absoluto, para x\ge 0 temos |x|=x, logo neste caso \sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 4

Caso x<0.
De novo, \sqrt{x^{2}} é o número b tal que b^{2}=x^{2} e b\ge 0. As soluções da equação b^{2}=x^{2} continuam sendo b=x ou b=-x. Agora, como x<0, tem-se x<0 (logo x não pode ser escolhido porque não satisfaz b\ge0) e -x>0. Assim o único b que satisfaz ambas as condições é b=-x. Portanto
\sqrt{x^{2}}=-x.
Pela definição do valor absoluto, para x<0 tem-se |x|=-x. Logo neste caso também \sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 5

Conclusão unificada: nos dois casos ( x\ge 0 e x<0 ) encontramos que \sqrt{x^{2}} coincide com |x|. Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
\sqrt{x^{2}}=|x|.
Dica prática para prova: nunca simplifique \sqrt{x^{2}} como x sem checar o sinal de x; a simplificação correta é |x|. Exemplos rápidos: \sqrt{5^{2}}=\sqrt{25}=5=|5|, \sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3=|-3|.

Resposta

\sqrt{x^{2}}=|x|

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