Seja
um real. Então:
Mostre que, para todo
real,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a definição da raiz quadrada para um real não negativo: para
,
O que se pede: provar que, para todo
,
Passo 2
Estratégia (bem simples): aplicar a definição da raiz quadrada com
Então vou analisar separadamente os dois casos
, mostrar em cada caso qual é o número
tal que
, e verificar que esse
coincide com
.]
Passo 3
Caso
.
Pela definição,
é o número
tal que
As soluções da equação
são obtidas fatorando:
Como estamos no caso
, tem-se
e
. A condição adicional
elimina
(quando
não pode ser estritamente positivo a menos que
, mas mesmo assim a escolha de
dá
). Portanto o único
admissível é
. Assim
Comparando com a definição do valor absoluto, para
temos
, logo neste caso
.
Passo 4
Caso
.
De novo,
é o número
tal que
e
. As soluções da equação
continuam sendo
ou
. Agora, como
, tem-se
(logo
não pode ser escolhido porque não satisfaz
) e
. Assim o único
que satisfaz ambas as condições é
. Portanto
Pela definição do valor absoluto, para
tem-se
. Logo neste caso também
.
Passo 5
Conclusão unificada: nos dois casos (
e
) encontramos que
coincide com
. Portanto, para todo
,
Dica prática para prova: nunca simplifique
como
sem checar o sinal de
; a simplificação correta é
. Exemplos rápidos:
,
.