Resolva, em \mathbb{R}, as equações modulares.
\left|x^{2}-x-1\right|=1

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a equação
\left|x^{2}-x-1\right|=1.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e deve ser um número real.
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-x-1.
  • O lado direito da igualdade é 1 (um número positivo).
O que a questão quer: encontrar todos os valores reais de x que tornam verdadeira a igualdade acima.

Passo 2

Lembrete importante sobre valor absoluto (uma pequena aula): para qualquer expressão A e número c\ge 0,
|A|=c
é equivalente ao sistema “ou” das duas equações
A=c\quad\text{ou}\quad A=-c.
Isso acontece porque o valor absoluto mede distância até zero: se a distância de A a zero é c, então A é igual a c ou a -c.
No nosso caso A=x^{2}-x-1 e c=1 (que é \ge0), então podemos resolver as duas equações obtidas dessa equivalência.

Passo 3

Escrevendo as duas equações que precisamos resolver:
\text{(I)}\quad x^{2}-x-1=1
\text{(II)}\quad x^{2}-x-1=-1

Passo 4

Resolver a equação (I). Primeiro simplifico:
x^{2}-x-1=1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x-2=0.
Agora vou resolver a equação quadrática \,x^{2}-x-2=0.
Método (fórmula do discriminante e fórmula quadrática — explicando): para uma quadrática \,ax^{2}+bx+c=0, define-se o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac.
Se \Delta\ge0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Aqui a=1, b=-1, c=-2. Então
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9,
\sqrt{\Delta}=3.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-1)\pm 3}{2\cdot1}=\frac{1\pm 3}{2}.
Portanto as duas raízes são
x=\frac{1+3}{2}=2\quad\text{e}\quad x=\frac{1-3}{2}=-1.
Observação alternativa (fatoração rápida): x^{2}-x-2=(x-2)(x+1), que dá as mesmas raízes x=2 e x=-1.

Passo 5

Resolver a equação (II). Simplifico:
x^{2}-x-1=-1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x=0.
Fatorando:
x^{2}-x=x(x-1)=0.
Produto é zero se e só se um dos fatores é zero, logo
x=0\quad\text{ou}\quad x=1.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar): substituir cada candidato na equação original \left|x^{2}-x-1\right|=1.
  • Para x=2: x^{2}-x-1=4-2-1=1, então |1|=1 — ok.
  • Para x=-1: x^{2}-x-1=1+1-1=1, então |1|=1 — ok.
  • Para x=0: x^{2}-x-1=0-0-1=-1, então |-1|=1 — ok.
  • Para x=1: x^{2}-x-1=1-1-1=-1, então |-1|=1 — ok.
Todos os quatro valores satisfazem a equação original.

Passo 7

Conclusão: as soluções reais são exatamente os valores encontrados nas duas ramificações.

Resposta

\{-1,\,0,\,1,\,2\}

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