Resolva, em
, as equações modulares.
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
e deve ser um número real. - A expressão dentro do valor absoluto é
. - O lado direito da igualdade é
(um número positivo).
O que a questão quer: encontrar todos os valores reais de
que tornam verdadeira a igualdade acima.
Passo 2
Lembrete importante sobre valor absoluto (uma pequena aula): para qualquer expressão
e número
,
é equivalente ao sistema “ou” das duas equações
Isso acontece porque o valor absoluto mede distância até zero: se a distância de
a zero é
, então
é igual a
ou a
.
No nosso caso
e
(que é
), então podemos resolver as duas equações obtidas dessa equivalência.
Passo 3
Escrevendo as duas equações que precisamos resolver:
Passo 4
Resolver a equação (I). Primeiro simplifico:
Agora vou resolver a equação quadrática
Método (fórmula do discriminante e fórmula quadrática — explicando): para uma quadrática
, define-se o discriminante
Se
, as raízes são
Aqui
,
,
. Então
Aplicando a fórmula:
Portanto as duas raízes são
Observação alternativa (fatoração rápida):
, que dá as mesmas raízes
e
.
Passo 5
Resolver a equação (II). Simplifico:
Fatorando:
Produto é zero se e só se um dos fatores é zero, logo
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar): substituir cada candidato na equação original
.
- Para
: , então — ok. - Para
: , então — ok. - Para
: , então — ok. - Para
: , então — ok.
Todos os quatro valores satisfazem a equação original.
Passo 7
Conclusão: as soluções reais são exatamente os valores encontrados nas duas ramificações.