Resolva, em
, as inequações.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: resolver em
a inequação
Ou seja, encontrar todos os valores reais de
que tornam verdadeira essa desigualdade entre valores absolutos.
Passo 2
Conceito útil (pequena aula): o valor absoluto
mede a distância de
até
, portanto
para todo
. Uma propriedade prática que vamos usar é: se
e
, então
porque a função
é estritamente crescente em
. No nosso caso ambos os lados
e
são não negativos, então podemos elevar ao quadrado mantendo a equivalência da desigualdade. Isso evita ter que tratar todos os sinais explicitamente (embora depois faremos uma verificação por casos curta para reforçar).
Passo 3
Aplicando o que falei, elevamos ao quadrado os dois lados:
Agora vamos manipular essa desigualdade. Subtraindo
de ambos os lados:
Reconhece-se a diferença de quadrados; fatorando:
Calculemos cada fator:
Portanto a desigualdade vira
Como
, podemos dividir por
sem mudar o sinal:
Passo 4
Agora resolvemos a inequação quadrática
. Identificamos as raízes da expressão no lado direito:
e
. A expressão
é um produto de dois fatores lineares; seu sinal é determinado pelos intervalos definidos pelas raízes. Fazendo um quadro mental (ou uma rápida análise de sinais):
- Para
: e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto . - Para
: e ⇒ produto .
Como queremos estritamente maior que zero, os pontos
e
não entram. Assim a solução dessa inequação é
Passo 5
Verificação por casos (confirmação e didática): outra maneira—mais elementar—é abrir os valores absolutos dividindo a reta em pontos críticos
(zero de
) e
(zero de
) e resolver em cada intervalo. Resumo rápido do resultado desses casos:
- Para
: a desigualdade reduz a , que é verdadeira para todo . - Para
: reduz a , que dá , ou seja neste intervalo vale quando . - Para
: reduz a , que dá .
Juntando tudo obtemos novamente
. Isso confirma que o uso de quadrados não introduziu extranos.