Resolva, em \mathbb{R}, as inequações.
|x+1|<|2 x-1|

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: resolver em \mathbb{R} a inequação
|x+1| < |2x-1|.
Ou seja, encontrar todos os valores reais de x que tornam verdadeira essa desigualdade entre valores absolutos.

Passo 2

Conceito útil (pequena aula): o valor absoluto |y| mede a distância de y até 0, portanto |y|\ge 0 para todo y. Uma propriedade prática que vamos usar é: se a\ge 0 e b\ge 0, então
a < b \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 < b^2,
porque a função t\mapsto t^2 é estritamente crescente em [0,\infty). No nosso caso ambos os lados |x+1| e |2x-1| são não negativos, então podemos elevar ao quadrado mantendo a equivalência da desigualdade. Isso evita ter que tratar todos os sinais explicitamente (embora depois faremos uma verificação por casos curta para reforçar).

Passo 3

Aplicando o que falei, elevamos ao quadrado os dois lados:
|x+1| < |2x-1| \quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^2 < (2x-1)^2.
Agora vamos manipular essa desigualdade. Subtraindo (x+1)^2 de ambos os lados:
0 < (2x-1)^2 - (x+1)^2.
Reconhece-se a diferença de quadrados; fatorando:
(2x-1)^2 - (x+1)^2 = \big((2x-1)-(x+1)\big)\big((2x-1)+(x+1)\big).
Calculemos cada fator:
(2x-1)-(x+1) = x-2,
(2x-1)+(x+1) = 3x.
Portanto a desigualdade vira
0 < 3x(x-2).
Como 3>0, podemos dividir por 3 sem mudar o sinal:
0 < x(x-2).

Passo 4

Agora resolvemos a inequação quadrática x(x-2)>0. Identificamos as raízes da expressão no lado direito: x=0 e x=2. A expressão x(x-2) é um produto de dois fatores lineares; seu sinal é determinado pelos intervalos definidos pelas raízes. Fazendo um quadro mental (ou uma rápida análise de sinais):
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 ⇒ produto >0.
  • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 ⇒ produto <0.
  • Para x>2: x>0 e x-2>0 ⇒ produto >0.
Como queremos estritamente maior que zero, os pontos x=0 e x=2 não entram. Assim a solução dessa inequação é
x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty).

Passo 5

Verificação por casos (confirmação e didática): outra maneira—mais elementar—é abrir os valores absolutos dividindo a reta em pontos críticos x=-1 (zero de x+1) e x=\tfrac{1}{2} (zero de 2x-1) e resolver em cada intervalo. Resumo rápido do resultado desses casos:
  • Para x< -1: a desigualdade reduz a -x-1 < -2x+1, que é verdadeira para todo x< -1.
  • Para -1\le x < \tfrac{1}{2}: reduz a x+1 < -2x+1, que dá x<0, ou seja neste intervalo vale quando -1\le x<0.
  • Para x\ge \tfrac{1}{2}: reduz a x+1 < 2x-1, que dá x>2.
Juntando tudo obtemos novamente x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty). Isso confirma que o uso de quadrados não introduziu extranos.

Resposta

(-\infty,0)\cup(2,\infty)

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