Se
, calcule o valor de
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
onde
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um número natural (inteiro não-negativo); - a expressão envolve potências de
com expoentes lineares em .
Passo 2
Lembra da propriedade básica das potências de
é par},\[4pt] -1, & se
é ímpar. \end{cases}]
Isso vem do fato que
e multiplicações de
em pares dão
, em número ímpar dão
. Essa é a ideia principal que vamos usar: testar se o expoente é par ou ímpar.]
Passo 3
Avalio
. Como
é um número par para todo
, vale
Passo 4
Avalio
. Posso escrever
Já sabemos que
(passo anterior) e
. Portanto
Passo 5
Avalio
. Uma forma rápida é usar
. Como
, obtemos
Intuitivamente isso também faz sentido porque multiplicar o expoente por
(número ímpar) preserva a paridade de
: se
é par,
é par; se
é ímpar,
é ímpar.
Passo 6
Substituo os resultados nos termos de
. Usando
,
e
, temos
Os dois últimos termos se cancelam, pois
. Logo
Agora substituo
(passo 4) e obtenho
Passo 7
Teste rápido com exemplos para conferir a intuição:
- Se
: . - Se
: .
Esses testes conferem que o resultado não depende de qualnatural se escolhe.