Se \mathfrak{n} \in \mathbb{N}, calcule o valor de
A=(-1)^{2 n}-(-1)^{2 n+3}+(-1)^{3 n}-(-1)^{n} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
A = (-1)^{2 n} - (-1)^{2 n+3} + (-1)^{3 n} - (-1)^{n},
onde n\in\mathbb{N}.
Informações dadas:
  • n é um número natural (inteiro não-negativo);
  • a expressão envolve potências de -1 com expoentes lineares em n.

Passo 2

Lembra da propriedade básica das potências de -1\): para inteiro \(k\), \[(-1)^k = \begin{cases} 1, & \text{se \(k é par},\[4pt] -1, & se k é ímpar. \end{cases}]
Isso vem do fato que (-1)^2=1 e multiplicações de (-1) em pares dão 1, em número ímpar dão -1. Essa é a ideia principal que vamos usar: testar se o expoente é par ou ímpar.]

Passo 3

Avalio (-1)^{2n}. Como 2n é um número par para todo n\in\mathbb{N}, vale
(-1)^{2n}=1.

Passo 4

Avalio (-1)^{2n+3}. Posso escrever
(-1)^{2n+3}=(-1)^{2n}\cdot(-1)^3.
Já sabemos que (-1)^{2n}=1 (passo anterior) e (-1)^3=-1. Portanto
(-1)^{2n+3}=1\cdot(-1)=-1.

Passo 5

Avalio (-1)^{3n}. Uma forma rápida é usar (-1)^{3n}=((-1)^3)^n. Como (-1)^3=-1, obtemos
(-1)^{3n}=(-1)^n.
Intuitivamente isso também faz sentido porque multiplicar o expoente por 3 (número ímpar) preserva a paridade de n: se n é par, 3n é par; se n é ímpar, 3n é ímpar.

Passo 6

Substituo os resultados nos termos de A. Usando (-1)^{2n}=1, (-1)^{2n+3}=-1 e (-1)^{3n}=(-1)^n, temos
A = 1 - (-1)^{2n+3} + (-1)^n - (-1)^n.
Os dois últimos termos se cancelam, pois +(-1)^n - (-1)^n = 0. Logo
A = 1 - (-1)^{2n+3}.
Agora substituo (-1)^{2n+3}=-1 (passo 4) e obtenho
A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

Passo 7

Teste rápido com exemplos para conferir a intuição:
  • Se n=1: A = (-1)^2 - (-1)^5 + (-1)^3 - (-1)^1 = 1 - (-1) + (-1) - (-1) = 1+1-1+1 = 2.
  • Se n=2: A = (-1)^4 - (-1)^7 + (-1)^6 - (-1)^2 = 1 - (-1) + 1 - 1 = 2.
    Esses testes conferem que o resultado não depende de qual n natural se escolhe.

Resposta

2

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