Determine os limites:
\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} \sqrt{2} \theta}{\sqrt{2} \theta}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\bigl(\sqrt{2}\,\theta\bigr)}{\sqrt{2}\,\theta}.
O conteúdo é limite de funções trigonométricas e vamos usar o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Definimos a mudança de variável
x = \sqrt{2}\,\theta.
Quando \theta\to0, temos também x\to0.

Passo 3

Reescrevendo a expressão original em função de x, obtemos
\frac{\sin\bigl(\sqrt{2}\,\theta\bigr)}{\sqrt{2}\,\theta} = \frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Pelo limite fundamental da função seno, concluímos
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Resposta

1

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