Resolva, em
, as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações dadas:
- A inequação envolve o produto de duas expressões lineares:
e . - Queremos encontrar todos os
que tornam esse produto estritamente positivo.
Passo 2
Primeiro identifiquemos os pontos onde cada fator é zero (esses pontos dividem a reta real em intervalos onde o sinal do produto é constante).
Resolver :
Resolver
Resolver
:
Logo, os pontos críticos são
e
. Observação:
e
.
Passo 3
É útil escrever os fatores destacando constantes para ver o sinal geral:
Então o produto fica
Passo 4
Agora usemos uma propriedade de inequações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte-se. Aqui podemos dividir ambos os lados de
por
(que é negativo). Ao dividir por
o sinal inverte, ficando
Passo 5
Interpretação da inequação
:
- O produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos.
- Os sinais de
e mudam em e , respectivamente.
Como, para ambos os fatores são negativos (produto positivo); para ambos são positivos (produto positivo); para um é negativo e o outro positivo (produto negativo). Portanto a condição de produto negativo ocorre exatamente quando
Passo 6
Verificação pontual (controle rápido, para ter confiança):
- Escolher
(que está entre e ):
o que confirma que
satisfaz a inequação original.
- Escolher
(menor que ):
não satisfaz — coerente com nossa solução.
Passo 7
Conclusão: a solução da inequação é o intervalo aberto entre os zeros
e
, pois a desigualdade é estrita (">"), então os extremos não entram.