Resolva, em \mathbb{R}, as inequações:
(4-2 x)(5 x-3)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
(4-2x)(5x-3)>0.
Informações dadas:
  • A inequação envolve o produto de duas expressões lineares: 4-2x e 5x-3.
  • Queremos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam esse produto estritamente positivo.

Passo 2

Primeiro identifiquemos os pontos onde cada fator é zero (esses pontos dividem a reta real em intervalos onde o sinal do produto é constante).
Resolver 4-2x=0:
4-2x=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Resolver 5x-3=0:
5x-3=0 \quad\Rightarrow\quad 5x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{5}.
Logo, os pontos críticos são x=\tfrac{3}{5} e x=2. Observação: \tfrac{3}{5}=0,6 e \tfrac{3}{5}<2.

Passo 3

É útil escrever os fatores destacando constantes para ver o sinal geral:
4-2x = -2(x-2),\qquad 5x-3 = 5\Big(x-\tfrac{3}{5}\Big).
Então o produto fica
(4-2x)(5x-3) = -2\cdot 5 \cdot (x-2)\Big(x-\tfrac{3}{5}\Big) = -10\,(x-2)\Big(x-\tfrac{3}{5}\Big).

Passo 4

Agora usemos uma propriedade de inequações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte-se. Aqui podemos dividir ambos os lados de
-10\,(x-2)\Big(x-\tfrac{3}{5}\Big) > 0
por -10 (que é negativo). Ao dividir por -10 o sinal inverte, ficando
(x-2)\Big(x-\tfrac{3}{5}\Big) < 0.

Passo 5

Interpretação da inequação (x-2)\big(x-\tfrac{3}{5}\big)<0:
  • O produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos.
  • Os sinais de x-2 e x-\tfrac{3}{5} mudam em x=2 e x=\tfrac{3}{5}, respectivamente.
    Como \tfrac{3}{5}<2, para x<\tfrac{3}{5} ambos os fatores são negativos (produto positivo); para x>\!2 ambos são positivos (produto positivo); para \tfrac{3}{5}<x<2 um é negativo e o outro positivo (produto negativo). Portanto a condição de produto negativo ocorre exatamente quando
\tfrac{3}{5}<x<2.

Passo 6

Verificação pontual (controle rápido, para ter confiança):
  • Escolher x=1 (que está entre \tfrac{3}{5} e 2):
(4-2\cdot1)(5\cdot1-3) = (2)(2)=4>0,
o que confirma que x=1 satisfaz a inequação original.
  • Escolher x=0 (menor que \tfrac{3}{5}):
(4-0)(-3) = -12<0,
não satisfaz — coerente com nossa solução.

Passo 7

Conclusão: a solução da inequação é o intervalo aberto entre os zeros \tfrac{3}{5} e 2, pois a desigualdade é estrita (">"), então os extremos não entram.

Resposta

\left(\tfrac{3}{5},2\right)

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