Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
\lim _{x \rightarrow 1}\left[(1-x) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left[(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right].
Informações dadas:
  • A expressão é a função f(x)=(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right).
  • Queremos o valor de \lim_{x\to 1} f(x).

Passo 2

Fazer uma mudança de variável para trabalhar perto de zero deixa a manipulação mais simples. Defina
t = x-1,
então quando x\to 1 temos t\to 0. Reescrevendo a expressão em função de t:
1-x = 1-(1+t) = -t, \qquad \frac{\pi x}{2}=\frac{\pi(1+t)}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t}{2}.
Portanto
(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -t\;\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t}{2}\right).

Passo 3

Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o que aparece dentro da tangente. A identidade é
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}+u\right)=-\cot u,
válida para u próximo de 0 (exceto nos pontos singulares). Aplicando com u=\dfrac{\pi t}{2} obtemos
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi t}{2}\right)=-\cot\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
Substituindo na expressão do passo anterior:
(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -t\cdot\Big(-\cot\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\Big) = t\;\cot\!\left(\frac{\pi t}{2}\right).
Como \cot z=\dfrac{1}{\tan z}, temos
(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \frac{t}{\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)}.

Passo 4

Usar o limite notável \displaystyle \lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}=1. Para aplicar isso ao nosso caso, escrevemos
\frac{t}{\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)} = \frac{t}{\dfrac{\pi t}{2}}\cdot\frac{\dfrac{\pi t}{2}}{\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\dfrac{\pi t}{2}}{\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)}.
Quando t\to 0 temos \dfrac{\pi t}{2}\to 0, então pelo limite notável
\lim_{t\to 0}\frac{\dfrac{\pi t}{2}}{\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)}=1.
Logo
\lim_{t\to 0}\frac{t}{\tan\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)}=\frac{2}{\pi}\cdot 1=\frac{2}{\pi}.

Passo 5

Concluímos que, ao voltar para a variável original x,
\lim_{x\to 1}\left[(1-x)\,\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]=\frac{2}{\pi}.
Se quiser, pense intuitivamente: a tangente tende a infinito como 1/(\text{distância ao ponto singular})â, e o fator (1-x) é proporcional a essa distância, de modo que o produto tende a uma constante; o cálculo acima mostra que essa constante é \tfrac{2}{\pi}. Força aí — esse tipo de limite aparece bastante em prova, e essa técnica de mudança t=x-1 + usar limites notáveis resolve rápido.

Resposta

\dfrac{2}{\pi}

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