Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a função
. - Queremos o valor de
.
Passo 2
Fazer uma mudança de variável para trabalhar perto de zero deixa a manipulação mais simples. Defina
então quando
temos
. Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto
Passo 3
Usar uma identidade trigonométrica para simplificar o que aparece dentro da tangente. A identidade é
válida para
próximo de
(exceto nos pontos singulares). Aplicando com
obtemos
Substituindo na expressão do passo anterior:
Como
, temos
Passo 4
Usar o limite notável
. Para aplicar isso ao nosso caso, escrevemos
Quando
temos
, então pelo limite notável
Logo
Passo 5
Concluímos que, ao voltar para a variável original
,
Se quiser, pense intuitivamente: a tangente tende a infinito como
, e o fator
é proporcional a essa distância, de modo que o produto tende a uma constante; o cálculo acima mostra que essa constante é
. Força aí — esse tipo de limite aparece bastante em prova, e essa técnica de mudança
+ usar limites notáveis resolve rápido.