Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações do 2^{\circ}. grau:
2\left(x-\frac{1}{x}\right)-3\left(1-\frac{1}{x}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação
2\Bigl(x-\tfrac{1}{x}\Bigr)-3\Bigl(1-\tfrac{1}{x}\Bigr)=0.
Este é um caso de equação que envolve frações em x; vamos usar como estratégia eliminar o denominador multiplicando por x (lemando que x\neq0) e depois resolver a equação polinomial de segundo grau resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio da equação: como aparece \tfrac{1}{x}, devemos ter x \neq 0.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x para eliminar os denominadores. Assim,
x\cdot\Bigl[\,2\bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr) - 3\bigl(1 - \tfrac{1}{x}\bigr)\Bigr] = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\bigl(x^2 - 1\bigr)-3\bigl(x-1\bigr)=0.
Expandindo:
2x^2 - 2 - 3x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 3x + 1 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
2x^2 - 3x + 1 = 0
pelo discriminante. Temos
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1,
e as raízes são
x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2\cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}.
Logo
x_1 = \frac{3+1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{3-1}{4} = \tfrac12.

Passo 5

Verificamos se as soluções estão no domínio x\neq0. Ambas satisfazem essa condição.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = 1 \quad\text{e}\quad x = \tfrac12.

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