70 Determine, em \mathbb{R}, o conjunto solução da equacâo \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{5}{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação \displaystyle\Bigl(x+\frac1x\Bigr)^{2}-2\Bigl(x+\frac1x\Bigr)=\frac54
Observamos que x\neq0 e que a expressão sugere fazer uma troca para simplificar.

Passo 2

Definimos
t = x + \frac1x.
Substituindo na equação original obtemos
t^{2} - 2t = \frac54.
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador fica
4t^{2} - 8t - 5 = 0.

Passo 3

Resolvendo a quadrática em t, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^{2} - 4\cdot4\cdot(-5)}}{2\cdot4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 80}}{8} = \frac{8 \pm 12}{8}.
Logo os valores de t são
t = \frac{20}{8} = \frac52 \quad\text{ou}\quad t = \frac{-4}{8} = -\frac12.

Passo 4

Voltamos à relação x + \frac1x = t, que equivale ao polinômio
x^{2} - t\,x + 1 = 0.
  • Para t = \tfrac52, o discriminante é
\Delta = \Bigl(\tfrac52\Bigr)^{2} - 4 = \frac{25}{4} - 4 = \frac94 > 0,
e
x = \frac{\tfrac52 \pm \tfrac32}{2} = \frac{5 \pm 3}{4},
ou seja x = 2 ou x = \tfrac12.
  • Para t = -\tfrac12, o discriminante é
\Delta = \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{2} - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4} < 0,
não há raízes reais.

Resposta

\displaystyle\Bigl\{\tfrac12,\;2\Bigr\}

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