Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
3 \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}+\frac{4}{x-1} \sqrt{x^{2}-1}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
3 \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \;+\;\frac{4}{x-1}\,\sqrt{x^{2}-1}=0.
O conteúdo aqui é resolução de equações com radicais. Vamos primeiro determinar o domínio onde ambas as raízes estão definidas e depois resolver por casos.

Passo 2

Condições de existência:
  • Para \sqrt{\tfrac{x+1}{x-1}} é preciso \tfrac{x+1}{x-1}\ge0.
    Isso ocorre quando x\le-1 ou x>1.
  • Para \sqrt{x^2-1} é preciso x^2-1\ge0, i.e.\ x\le-1 ou x\ge1.
    A interseção dessas condições é
x\le-1\quad\text{ou}\quad x>1,
com x=1 excluído por anular o denominador.

Passo 3

Caso 1: x>1.
Defina
A=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\ge0.
Então
\sqrt{x^2-1} =\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1} =A\,(x-1).
Substituindo na equação original:
3A + \frac{4}{x-1}\,\bigl(A(x-1)\bigr) =3A+4A=7A=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0.
Mas A=0 \sqrt{\tfrac{x+1}{x-1}}=0\implies x=-1, que não está em x>1. Portanto não há solução neste caso.

Passo 4

Caso 2: x\le-1.
Multiplicamos a equação original por x-1 (não altera o conjunto solução):
3\,(x-1)\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \;+\;4\,\sqrt{x^2-1} =0.
Note que
(x-1)\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} =\sqrt{(x-1)(x+1)} =\sqrt{x^2-1},
logo a equação vira
3\sqrt{x^2-1}+4\sqrt{x^2-1} =7\sqrt{x^2-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^2-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-1=0
\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Do domínio x\le-1 sobra x=-1.

Passo 5

Verificação em x=-1:
\sqrt{\frac{-1+1}{-1-1}}=0, \quad \sqrt{(-1)^2-1}=0,
e a equação original fica 0+0=0, válida.

Resposta

A única solução em \mathbb{R} é
x=-1.

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