Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
x+3=\sqrt{x-6}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
x + 3 = \sqrt{x - 6}.
O conteúdo aqui é equação com radical. Para resolver, vamos (i) analisar o domínio da raiz quadrada e (ii) elevar ambos os lados ao quadrado para obter uma equação polinomial.

Passo 2

A raiz \sqrt{x-6} só está definida se o radicando for não negativo, ou seja
x - 6 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 6.
Além disso, como \sqrt{x-6)\ge0, o lado esquerdo x+3 também deve ser não negativo, isto é x+3\ge0. Porém, para x\ge6 já temos x+3\ge9>0, então o domínio fica simplesmente x \ge 6.

Passo 3

Dentro do domínio x\ge6, podemos elevar os dois lados da equação ao quadrado sem alterar o conjunto solução:
(x+3)^2 = \bigl(\sqrt{x-6}\bigr)^2 \;\Longrightarrow\; x^2 + 6x + 9 = x - 6.
Reorganizando todos os termos para um lado, obtemos a equação quadrática
x^2 + 6x + 9 - x + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 5x + 15 = 0.

Passo 4

Para resolver x^2 + 5x + 15 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = 5^2 - 4\cdot1\cdot15 = 25 - 60 = -35.
Como \Delta<0, não existem raízes reais nessa equação. Logo não surgem candidatos dentro do domínio x\ge6.

Resposta

A equação não possui solução real.

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