Resolva, em
, as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a inequação
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
e queremos todos os números reais que satisfazem a condição. - A expressão
é uma função exponencial com base (base maior que e diferente de ), definida para todo . - A inequação é do tipo “diferente de” (não igual). Para esse tipo de problema, é suficiente encontrar o(s) valor(es) de
que tornam a igualdade verdadeira e então excluí‑los do conjunto .
Passo 2
Estratégia e propriedade útil (explicação didática):
- Propriedade importante: para uma base
, , a função é injetora (um‑para‑um). Isso significa que, se , então necessariamente . - Assim, para resolver uma equação do tipo
tenta‑se escrever como potência de e então igualar os expoentes. Alternativamente, pode‑se usar logaritmos. - No caso de uma inequação com “
”, basta achar os que tornam a igualdade verdadeira e excluir esses valores do conjunto .
Passo 3
Resolver a igualdade associada:
- Escrever
como potência de . Sabendo que , a igualdade fica
- Pela injetividade da exponencial base
, os expoentes devem ser iguais:
- Resolver para
:
Passo 4
Verificação alternativa usando logaritmos (opção que vale em prova se não lembrar das potências):
- Tomando logaritmo natural dos dois lados da igualdade
:
- Como
, segue
o mesmo resultado.
Passo 5
Interpretação final e solução da inequação:
- A igualdade
ocorre somente quando . - A inequação
pede todos os reais exceto esse ponto em que ocorre igualdade. - Logo, a solução é o conjunto dos números reais sem
.