Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes inequações exponenciais:
2^{3 x} \neq 16

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbf{R} a inequação
2^{3x}\neq 16.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é x e queremos todos os números reais que satisfazem a condição.
  • A expressão 2^{3x} é uma função exponencial com base 2 (base maior que 0 e diferente de 1), definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A inequação é do tipo “diferente de” (não igual). Para esse tipo de problema, é suficiente encontrar o(s) valor(es) de x que tornam a igualdade verdadeira e então excluí‑los do conjunto \mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia e propriedade útil (explicação didática):
  • Propriedade importante: para uma base a>0, a\neq1, a função a^t é injetora (um‑para‑um). Isso significa que, se a^{u}=a^{v}, então necessariamente u=v.
  • Assim, para resolver uma equação do tipo 2^{3x}=C tenta‑se escrever C como potência de 2 e então igualar os expoentes. Alternativamente, pode‑se usar logaritmos.
  • No caso de uma inequação com “ \neq”, basta achar os x que tornam a igualdade 2^{3x}=16 verdadeira e excluir esses valores do conjunto \mathbb{R}.

Passo 3

Resolver a igualdade associada:
  • Escrever 16 como potência de 2. Sabendo que 16=2^{4}, a igualdade fica
2^{3x}=2^{4}.
  • Pela injetividade da exponencial base 2, os expoentes devem ser iguais:
3x=4.
  • Resolver para x:
x=\frac{4}{3}.

Passo 4

Verificação alternativa usando logaritmos (opção que vale em prova se não lembrar das potências):
  • Tomando logaritmo natural dos dois lados da igualdade 2^{3x}=16:
3x\ln 2=\ln 16.
  • Como \ln 16=\ln(2^{4})=4\ln 2, segue
3x\ln 2=4\ln 2\quad\Rightarrow\quad 3x=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3},
o mesmo resultado.

Passo 5

Interpretação final e solução da inequação:
  • A igualdade 2^{3x}=16 ocorre somente quando x=\dfrac{4}{3}.
  • A inequação 2^{3x}\neq 16 pede todos os reais exceto esse ponto em que ocorre igualdade.
  • Logo, a solução é o conjunto dos números reais sem x=\dfrac{4}{3}.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{4}{3}\right\}

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