Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes inequações exponenciais:
5^{x}<125

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se resolver, em \mathbf{R}, a inequação exponencial \;5^{x}<125\;.
  • Informação útil que podemos extrair do enunciado: 125 é um número que pode ser escrito como potência de 5. (Não resolveremos ainda — só estou listando a informação.)

Passo 2

Reescrever o número 125 como uma potência de 5. Sabendo que 5\cdot5\cdot5=125, escrevemos:
125 = 5^{3}.

Passo 3

Substituindo na inequação original obtemos uma forma com a mesma base nas duas potências:
5^{x} < 5^{3}.

Passo 4

Explicar a propriedade chave (a “aula” rápida): por que podemos comparar os expoentes quando as bases são iguais?
  • Propriedade: se a>1 e u,v\in\mathbf{R}, então
    u<v \quad\Longleftrightarrow\quad a^{u}<a^{v}.
    Ou seja, a função t\mapsto a^{t} é estritamente crescente quando a>1.
  • Justificação elementar (sem cálculo): suponha u<v. Então v-u>0 e, usando propriedades de potências,
    \frac{a^{v}}{a^{u}} = a^{v-u}.
    Como a>1 e v-u>0, tem-se a^{v-u}>1, logo \dfrac{a^{v}}{a^{u}}>1, isto é a^{v}>a^{u}. A implicação inversa segue pela mesma ideia aplicando-a ao par (v,u).

Passo 5

Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso em questão (com a=5>1), a desigualdade entre as potências com mesma base se transfere para os expoentes. Assim, comparar 5^{x} e 5^{3} equivale a comparar x e 3.

Passo 6

Outra maneira (alternativa) — usando logaritmo: como o logaritmo na base 5 é estritamente crescente, podemos aplicar \log_{5} em ambos os membros:
\log_{5}\big(5^{x}\big) < \log_{5}\big(5^{3}\big).
Pelas propriedades do logaritmo isso vira
x < 3.
(Avaliação de \log_{5}(125) deu \log_{5}(5^{3})=3.)

Passo 7

Verificação rápida por testes numéricos (para ganhar confiança):
  • Se x=2, 5^{2}=25<125 — funciona.
  • Se x=4, 5^{4}=625>125 — não funciona.
    Esses testes são consistentes com a solução encontrada.

Passo 8

Dica para prova: sempre que tiver potências com a mesma base positiva distinta de 1, é uma boa ideia escrever o número do outro lado como potência da mesma base (se possível) ou aplicar logaritmos — aí a comparação reduz para os expoentes. E lembre-se: bases maiores que 1 tornam a função crescente; bases entre 0 e 1 tornam a função decrescente (nesse último caso a desigualdade entre expoentes inverte).

Resposta

x<3

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