Resolva, em
, as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se resolver, em
, a inequação exponencial . - Informação útil que podemos extrair do enunciado:
é um número que pode ser escrito como potência de . (Não resolveremos ainda — só estou listando a informação.)
Passo 2
Reescrever o número
como uma potência de
. Sabendo que
, escrevemos:
Passo 3
Substituindo na inequação original obtemos uma forma com a mesma base nas duas potências:
Passo 4
Explicar a propriedade chave (a “aula” rápida): por que podemos comparar os expoentes quando as bases são iguais?
-
Propriedade: se
e , então Ou seja, a funçãoé estritamente crescente quando . -
Justificação elementar (sem cálculo): suponha
. Então e, usando propriedades de potências, Comoe , tem-se , logo , isto é . A implicação inversa segue pela mesma ideia aplicando-a ao par .
Passo 5
Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso em questão (com
), a desigualdade entre as potências com mesma base se transfere para os expoentes. Assim, comparar
e
equivale a comparar
e
.
Passo 6
Outra maneira (alternativa) — usando logaritmo: como o logaritmo na base
é estritamente crescente, podemos aplicar
em ambos os membros:
Pelas propriedades do logaritmo isso vira
(Avaliação de
deu
.)
Passo 7
Verificação rápida por testes numéricos (para ganhar confiança):
- Se
, — funciona. - Se
, — não funciona.
Esses testes são consistentes com a solução encontrada.
Passo 8
Dica para prova: sempre que tiver potências com a mesma base positiva distinta de
, é uma boa ideia escrever o número do outro lado como potência da mesma base (se possível) ou aplicar logaritmos — aí a comparação reduz para os expoentes. E lembre-se: bases maiores que
tornam a função crescente; bases entre
e
tornam a função decrescente (nesse último caso a desigualdade entre expoentes inverte).