Resolva, em
, as seguintes inequações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
e queremos todos os que satisfazem a inequação acima. - A expressão
é uma função exponencial bem definida para todo . - O número
pode ser reescrito como potência de : . (Peguei esse dado diretamente do enunciado, que fornece o número .)
Passo 2
Ensinar a ideia chave: monotonicidade das potências de base maior que
.
Uma propriedade fundamental que vamos usar é: se
então a função
é crescente. Em palavras: para
, sempre que
vale
. Intuição simples (sem cálculo): multiplicar por
aumenta um número; portanto, aumentar o expoente produz um número maior. Outra forma prática é usar logaritmo: a função
com
também é crescente, então aplicar
preserva desigualdades.
Aqui a base é
, então podemos comparar expoentes depois de escrever os dois lados como potências de
.
Passo 3
Reescrevo o lado direito como potência de base
:
Portanto a inequação fica
Passo 4
Como explicado no Passo 2, com base
a função exponencial é crescente, logo a desigualdade entre as potências equivale à desigualdade entre os expoentes. Assim
Agora resolvo essa desigualdade linear em
.
Passo 5
Isolo
:
ou seja
Passo 6
Verificações rápidas para criar confiança:
- Para
temos , satisfaz (igualdade). - Para
temos , não satisfaz. - Para
temos , satisfaz.
Esses testes confirmam que todos os números atéservem.