Resolva, em \mathbf{R}, as seguintes inequações exponenciais:
3^{x-1} \leq 9

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbf{R}, a inequação
3^{x-1} \leq 9.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é x e queremos todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação acima.
  • A expressão 3^{x-1} é uma função exponencial bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O número 9 pode ser reescrito como potência de 3: 9=3^{2}. (Peguei esse dado diretamente do enunciado, que fornece o número 9.)

Passo 2

Ensinar a ideia chave: monotonicidade das potências de base maior que 1.
Uma propriedade fundamental que vamos usar é: se a>1 então a função t\mapsto a^{t} é crescente. Em palavras: para a>1, sempre que u\le v vale a^{u}\le a^{v}. Intuição simples (sem cálculo): multiplicar por a>1 aumenta um número; portanto, aumentar o expoente produz um número maior. Outra forma prática é usar logaritmo: a função \log_a com a>1 também é crescente, então aplicar \log_a preserva desigualdades.
Aqui a base é a=3>1, então podemos comparar expoentes depois de escrever os dois lados como potências de 3.

Passo 3

Reescrevo o lado direito como potência de base 3:
9 = 3^{2}.
Portanto a inequação fica
3^{x-1} \leq 3^{2}.

Passo 4

Como explicado no Passo 2, com base 3>1 a função exponencial é crescente, logo a desigualdade entre as potências equivale à desigualdade entre os expoentes. Assim
x-1 \leq 2.
Agora resolvo essa desigualdade linear em x.

Passo 5

Isolo x:
x \leq 2+1,
ou seja
x \leq 3.

Passo 6

Verificações rápidas para criar confiança:
  • Para x=3 temos 3^{3-1}=3^{2}=9, satisfaz (igualdade).
  • Para x=4 temos 3^{4-1}=3^{3}=27>9, não satisfaz.
  • Para x=0 temos 3^{0-1}=3^{-1}=\tfrac{1}{3}\le 9, satisfaz.
    Esses testes confirmam que todos os números até 3 servem.

Resposta

(-\infty,3]

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