Resolva as integrais definidas pelo método da substiuição:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O objetivo é calcular essa integral definida usando o método da substituição.
Passo 2
Escolha da substituição. Sempre que vemos uma raiz
e potências de
, uma boa escolha é isolar a raiz como nova variável. Vamos definir
Explico: essa substituição simplifica as potências de
transformando-as em potências inteiras de
, o que facilita a integração.
Passo 3
Expressar
em função de
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso nos permite substituir todas as ocorrências de
na integral por
.
Passo 4
Calcular o diferencial
em termos de
. Diferenciando
em relação a
:
Breve justificativa: a derivada de
é
, então um pequeno incremento
produz
.
Passo 5
Substituir
,
e
na integral original. Temos
,
e
. Portanto o integrando fica
Agora simplificamos os fatores:
Assim a integral em
transforma-se em uma integral em
.
Passo 6
Alterar os limites de integração para a nova variável
. Como
:
- Para o limite inferior
, temos . - Para o limite superior
, temos .
Portanto a integral definida vira
Passo 7
Integrar usando a regra da potências. A regra é: para
,
Aqui temos um fator constante
, que sai da integral:
Expliquei: primeiro aplicamos a constante para fora, depois usamos a fórmula com
.
Passo 8
Avaliar a primitiva nos limites. Calculamos
Agora os valores:
logo
Multiplicando:
Se quiser conferir como número decimal,
, mas a forma fracionária é exata e preferível.
Passo 9
Comentário final e checagem rápida. Uma alternativa curta seria simplificar o integrando antes de integrar:
e aplicar diretamente a regra da potência para
, chegando ao mesmo resultado
. Isso confirma a consistência da substituição que fizemos.