Resolva as integrais definidas pelo método da substiuição:
\int_{4}^{9} 2 t \sqrt{t} d t

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{4}^{9} 2\,t\,\sqrt{t}\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é 2\,t\,\sqrt{t}.
  • Os limites de integração são t=4 (inferior) e t=9 (superior).
    O objetivo é calcular essa integral definida usando o método da substituição.

Passo 2

Escolha da substituição. Sempre que vemos uma raiz \sqrt{t} e potências de t, uma boa escolha é isolar a raiz como nova variável. Vamos definir
u=\sqrt{t}=t^{1/2}.
Explico: essa substituição simplifica as potências de t transformando-as em potências inteiras de u, o que facilita a integração.

Passo 3

Expressar t em função de u. Elevando ambos os lados ao quadrado:
t = u^{2}.
Isso nos permite substituir todas as ocorrências de t na integral por u^{2}.

Passo 4

Calcular o diferencial dt em termos de du. Diferenciando t=u^{2} em relação a u:
dt = 2u\,du.
Breve justificativa: a derivada de u^{2} é 2u, então um pequeno incremento du produz dt=2u\,du.

Passo 5

Substituir t, \sqrt{t} e dt na integral original. Temos \sqrt{t}=u, t=u^{2} e dt=2u\,du. Portanto o integrando fica
2\,t\,\sqrt{t}\,dt = 2\cdot(u^{2})\cdot u \cdot (2u\,du).
Agora simplificamos os fatores:
2\cdot u^{2}\cdot u \cdot 2u = 4\,u^{4}.
Assim a integral em t transforma-se em uma integral em u.

Passo 6

Alterar os limites de integração para a nova variável u. Como u=\sqrt{t}:
  • Para o limite inferior t=4, temos u=\sqrt{4}=2.
  • Para o limite superior t=9, temos u=\sqrt{9}=3.
    Portanto a integral definida vira
\int_{4}^{9} 2\,t\,\sqrt{t}\,dt = \int_{2}^{3} 4\,u^{4}\,du.

Passo 7

Integrar usando a regra da potências. A regra é: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui temos um fator constante 4, que sai da integral:
\int_{2}^{3} 4\,u^{4}\,du = 4\int_{2}^{3} u^{4}\,du = 4\cdot\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{2}^{3}.
Expliquei: primeiro aplicamos a constante para fora, depois usamos a fórmula com n=4.

Passo 8

Avaliar a primitiva nos limites. Calculamos
4\cdot\frac{u^{5}}{5}\Bigg|_{2}^{3} = \frac{4}{5}\left(3^{5}-2^{5}\right).
Agora os valores:
3^{5}=243,\qquad 2^{5}=32,
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3^{5}-2^{5}=243-32=211.
Multiplicando:
\frac{4}{5}\cdot 211 = \frac{844}{5}.
Se quiser conferir como número decimal, \dfrac{844}{5}=168{,}8, mas a forma fracionária é exata e preferível.

Passo 9

Comentário final e checagem rápida. Uma alternativa curta seria simplificar o integrando antes de integrar: 2t\sqrt{t}=2t^{3/2} e aplicar diretamente a regra da potência para t, chegando ao mesmo resultado \dfrac{844}{5}. Isso confirma a consistência da substituição que fizemos.

Resposta

\dfrac{844}{5}

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