Resolva pelo Método de Frobenius
(e) 4 x^2 y^prime prime+2 x y^prime-x y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4x^2y'' + 2x y' - x y = 0
usando o método de Frobenius em torno de x=0. Isso significa buscar uma solução da forma
y(x) = sumn=0^infty an,x^n+r,
determinar o polinômio indicial (para achar os valores de r) e depois a relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Substituindo
y=sumn=0^infty an x^n+r, y'=sumn=0^infty an (n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1)x^n+r-2
em 4x^2y''+2x y' - x y=0 e igualando o menor expoente x^r a zero surge a equação indicial:
4r(r-1)+2r=0 Longrightarrow r(4r-2)=0 Longrightarrow r1=0,;r2=tfrac12

Passo 3

Para n>=1, o coeficiente de x^n+r fornece a relação de recorrência
l[4(n+r)(n+r-1)+2(n+r)r],an-an-1=0 Longrightarrow an=an-12(n+r)(2n+2r-1)

Passo 4

Caso r=0:
an=an-12n(2n-1) Longrightarrow an=a0prodk=1^n2k(2k-1) =a0(2n)!
Assim a primeira solução é
y1(x)=a0sumn=0^inftyx^n(2n)! =a0,coshl(raizxr)

Passo 5

Caso r=tfrac12:
an=an-12l(n+tfrac12r)(2n) Longrightarrow an=a0prodk=1^n2k(2k+1) =a0(2n+1)!
Logo a segunda solução é
y2(x)=a0sumn=0^inftyx^n+tfrac12(2n+1)! =a0,sinhl(raizxr)

Passo 6

Como r1-r2=tfrac12 não é inteiro, as duas séries são linearmente independentes. A solução geral da EDO é
y(x)=C1,coshl(raizxr) ;+; C2,sinhl(raizxr)

Resposta

boxedy(x)=C1coshl(raizxr)+C2sinhl(raizxr)

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