Resolva pelo método de Gauss-Seidel os sistemas.
\left\{\begin{array}{l}-x_{1}+6 x_{2}-x_{3}=32 \\\\ 6 x_{1}-x_{2}-x_{3}=11,33 \\\\ -x_{1}-x_{2}-6 x_{3}=44\end{array} \quad\right. com \epsilon<10^{-2} ou k=10 e x^{(0)}=(000)^{T}

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss–Seidel o sistema
\begin{cases} -\,x_{1}+6\,x_{2}-x_{3}=32,\\\\ 6\,x_{1}-x_{2}-x_{3}=11,33,\\\\ -\,x_{1}-x_{2}-6\,x_{3}=44, \end{cases}
começando em \,x^{(0)}=(0,0,0)^T e parando quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|<10^{-2} ou k=10. Vamos deduzir as fórmulas iterativas e checar convergência.

Passo 2

Isolando x_1,x_2,x_3 nas respectivas equações, obtemos as fórmulas de Gauss–Seidel:
x_{1} \;=\;-32 \;+\;6\,x_{2}\;-\;x_{3},
x_{2} \;=\;-11,33 \;+\;6\,x_{1}\;-\;x_{3},
x_{3} \;=\;-\tfrac{44}{6}\;-\;\tfrac{x_{1}}{6}\;-\;\tfrac{x_{2}}{6}.

Passo 3

Para garantir convergência pela iteração de Gauss–Seidel, costuma-se exigir que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante. Aqui a primeira linha tem
\lvert a_{11}\rvert=1 e \lvert a_{12}\rvert+\lvert a_{13}\rvert=6+1=7,
logo não há dominância. Portanto a convergência não está garantida.

Passo 4

Vamos ver o comportamento nas primeiras iterações:
Para k=0 (com x^{(0)}=(0,0,0)):
x_{1}^{(1)}=-32,\quad x_{2}^{(1)}=-11,33+6\cdot(-32)=-203,33,
x_{3}^{(1)}=-\tfrac{44}{6}+\tfrac{32}{6}+\tfrac{203,33}{6}\approx31,8883.
Para k=1:
x_{1}^{(2)}=-32+6\cdot(-203,33)-31,8883\approx-1283,8683,
x_{2}^{(2)}=-11,33+6\cdot(-1283,8683)-31,8883\approx-7746,4283,
x_{3}^{(2)}=-\tfrac{44}{6}+\tfrac{1283,8683}{6}+\tfrac{7746,4283}{6}\approx1497,7162.
Já vemos um crescimento enorme dos valores em módulo.

Passo 5

Como as componentes de x^{(k)} crescem sem se estabilizar, mesmo após algumas iterações, o método de Gauss–Seidel diverge para esse sistema.

Resposta

O método de Gauss–Seidel não converge para o sistema dado (diverge antes de atingir \epsilon<10^{-2} ou k=10).

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