Resolva pelo método de Gauss-Seidel os sistemas.
\left\{\begin{array}{l}10 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=28 \\\ x_{1}+10 x_{2}+9 x_{3}=7 \\\\ 2 x_{1}-7 x_{2}-10 x_{3}=-17\end{array} \quad\right. com \epsilon<10^{-3} e x^{(0)}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right)^{T}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=28,\\\ x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=7,\\\\ 2x_{1}-7x_{2}-10x_{3}=-17 \end{cases}
pelo método de Gauss–Seidel com tolerância \epsilon<10^{-3} e chute inicial x^{(0)}=(0,0,0)^T. O conteúdo é método iterativo para sistemas lineares, e vamos precisar das fórmulas de atualização de Gauss–Seidel e de um critério de parada baseado na norma infinita do erro.

Passo 2

Verificamos que o sistema é estritamente diagonalmente dominante pelas linhas, pois
|10| > |2|+|6|,\quad |10| > |1|+|9|,\quad |{-10}| > |2|+|{-7}|,
logo a iteração converge. Definimos o critério de parada
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty < \epsilon.

Passo 3

As fórmulas de Gauss–Seidel são, para k\ge0:
x_{1}^{(k+1)} =\frac{28-2\,x_{2}^{(k)}-6\,x_{3}^{(k)}}{10},
x_{2}^{(k+1)} =\frac{7 - x_{1}^{(k+1)} - 9\,x_{3}^{(k)}}{10},
x_{3}^{(k+1)} =\frac{-17 - 2\,x_{1}^{(k+1)} +7\,x_{2}^{(k+1)}}{-10}.

Passo 4

Calculamos a primeira iteração k=0\to1 usando x^{(0)}=(0,0,0)^T:
x_{1}^{(1)}=\frac{28-0-0}{10}=2,8,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{7-2,8-0}{10}=0,42,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{-17-2\cdot2,8+7\cdot0,42}{-10}=1,966.

Passo 5

Continuamos repetindo até que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}. Após várias iterações chega-se a
x^{(14)}\approx(1,00048,\;-2,99853,\;3,99907)^T,\quad x^{(15)}\approx(1,00027,\;-2,99919,\;3,99949)^T,
e
\|x^{(15)}-x^{(14)}\|_\infty\approx0,000655<10^{-3}.
Portanto a iteração para em k=15.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel com \epsilon<10^{-3} e x^{(0)}=(0,0,0)^T é
x\approx \begin{pmatrix} 1{,}00027\\\\ -2{,}99919\\\\ 3{,}99949 \end{pmatrix}.

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