Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Jacobi e pelo método de Gauss-Seidel. Faça seus cálculos com três casas decimais e para seis iterações e arredonde para cada multiplicação e cada divisão.
\left\{\begin{array}{l}16 x_{1}+5 x_{2}=-7 \\\\ 4 x_{1}+15 x_{2}=67\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 16x_{1}+5x_{2}=-7,\\\\ 4x_{1}+15x_{2}=67 \end{cases}
pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel, usando aproximações com três casas decimais em cada multiplicação e divisão, com seis iterações. O conteúdo aqui é “métodos de ponto fixo para sistemas lineares” e vamos precisar isolar cada x_i em função dos demais, verificar convergência e iterar.

Passo 2

Verificamos se o sistema é estritamente diagonalmente dominante, condição suficiente de convergência:
|16| > |5|\quad\text{e}\quad|15| > |4|,
logo cada linha satisfaz a dominância e ambos os métodos convergem.

Passo 3

Montamos o esquema de Jacobi. A cada iteração k temos
x_{1}^{(k+1)} = \frac{-7 - 5\,x_{2}^{(k)}}{16}, \qquad x_{2}^{(k+1)} = \frac{67 - 4\,x_{1}^{(k)}}{15}.
Escolhemos x_{1}^{(0)}=0, x_{2}^{(0)}=0.

Passo 4

Calculamos seis iterações de Jacobi, sempre arredondando produtos e quocientes a três casas decimais:
k=0→1:
\,Prod: 5\cdot0=0, Num: -7-0=-7, -7/16=-0{,}4375\to-0{,}438.
\,Prod: 4\cdot0=0, Num: 67-0=67, 67/15=4{,}4667\to4{,}467.
(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)})=(-0{,}438,\,4{,}467)
k=1→2:
\,Prod: 5\cdot4{,}467=22{,}335, Num: -7-22{,}335=-29{,}335, -29{,}335/16=-1{,}8334\to-1{,}833.
\,Prod: 4\cdot(-0{,}438)=-1{,}752, Num: 67-(-1{,}752)=68{,}752, 68{,}752/15=4{,}5835\to4{,}583.
(x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)})=(-1{,}833,\,4{,}583)
k=2→3:
\,Prod: 5\cdot4{,}583=22{,}915, Num: -7-22{,}915=-29{,}915, -29{,}915/16=-1{,}8697\to-1{,}870.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}833)=-7{,}332, Num: 67-(-7{,}332)=74{,}332, 74{,}332/15=4{,}9555\to4{,}955.
(x_{1}^{(3)},x_{2}^{(3)})=(-1{,}870,\,4{,}955)
k=3→4:
\,Prod: 5\cdot4{,}955=24{,}775, Num: -7-24{,}775=-31{,}775, -31{,}775/16=-1{,}9859\to-1{,}986.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}870)=-7{,}480, Num: 67-(-7{,}480)=74{,}480, 74{,}480/15=4{,}9653\to4{,}965.
(x_{1}^{(4)},x_{2}^{(4)})=(-1{,}986,\,4{,}965)
k=4→5:
\,Prod: 5\cdot4{,}965=24{,}825, Num: -7-24{,}825=-31{,}825, -31{,}825/16=-1{,}9891\to-1{,}989.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}986)=-7{,}944, Num: 67-(-7{,}944)=74{,}944, 74{,}944/15=4{,}9963\to4{,}996.
(x_{1}^{(5)},x_{2}^{(5)})=(-1{,}989,\,4{,}996)
k=5→6:
\,Prod: 5\cdot4{,}996=24{,}980, Num: -7-24{,}980=-31{,}980, -31{,}980/16=-1{,}9988\to-1{,}999.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}989)=-7{,}956, Num: 67-(-7{,}956)=74{,}956, 74{,}956/15=4{,}9971\to4{,}997.
(x_{1}^{(6)},x_{2}^{(6)})=(-1{,}999,\,4{,}997)

Passo 5

Montamos o esquema de Gauss–Seidel. Agora cada nova componente usa a última disponível:
x_{1}^{(k+1)} = \frac{-7 - 5\,x_{2}^{(k)}}{16}, \quad x_{2}^{(k+1)} = \frac{67 - 4\,x_{1}^{(k+1)}}{15}.
Mantemos x^{(0)}=(0,0).

Passo 6

Seis iterações de Gauss–Seidel, arredondando a cada produto e divisão:
k=0→1:
x_{1}^{(1)} como antes = -0{,}438.
\,Prod: 4\cdot(-0{,}438)=-1{,}752, Num: 67-(-1{,}752)=68{,}752, 68{,}752/15=4{,}5835\to4{,}583.
(x_{1}^{(1)},x_{2}^{(1)})=(-0{,}438,\,4{,}583)
k=1→2:
\,Prod: 5\cdot4{,}583=22{,}915, Num: -7-22{,}915=-29{,}915, -29{,}915/16=-1{,}8697\to-1{,}870.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}870)=-7{,}480, Num: 67-(-7{,}480)=74{,}480, 74{,}480/15=4{,}9653\to4{,}965.
(x_{1}^{(2)},x_{2}^{(2)})=(-1{,}870,\,4{,}965)
k=2→3:
\,Prod: 5\cdot4{,}965=24{,}825, Num: -7-24{,}825=-31{,}825, -31{,}825/16=-1{,}9891\to-1{,}989.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}989)=-7{,}956, Num: 67-(-7{,}956)=74{,}956, 74{,}956/15=4{,}9971\to4{,}997.
(x_{1}^{(3)},x_{2}^{(3)})=(-1{,}989,\,4{,}997)
k=3→4:
\,Prod: 5\cdot4{,}997=24{,}985, Num: -7-24{,}985=-31{,}985, -31{,}985/16=-1{,}9991\to-1{,}999.
\,Prod: 4\cdot(-1{,}999)=-7{,}996, Num: 67-(-7{,}996)=74{,}996, 74{,}996/15=4{,}9997\to4{,}999.
(x_{1}^{(4)},x_{2}^{(4)})=(-1{,}999,\,4{,}999)
k=4→5:
\,Prod: 5\cdot4{,}999=24{,}995, Num: -7-24{,}995=-31{,}995, -31{,}995/16=-1{,}9997\to-2{,}000.
\,Prod: 4\cdot(-2{,}000)=-8{,}000, Num: 67-(-8{,}000)=75{,}000, 75{,}000/15=5{,}000\to5{,}000.
(x_{1}^{(5)},x_{2}^{(5)})=(-2{,}000,\,5{,}000)
k=5→6:
\,Prod: 5\cdot5{,}000=25{,}000, Num: -7-25{,}000=-32{,}000, -32{,}000/16=-2{,}000\to-2{,}000.
\,Prod: 4\cdot(-2{,}000)=-8{,}000, Num: 67-(-8{,}000)=75{,}000, 75{,}000/15=5{,}000\to5{,}000.
(x_{1}^{(6)},x_{2}^{(6)})=(-2{,}000,\,5{,}000)

Resposta

Jacobi após 6 iterações:
\displaystyle x_{1}\approx -1{,}999,\quad x_{2}\approx 4{,}997.
Gauss–Seidel após 6 iterações:
\displaystyle x_{1}\approx -2{,}000,\quad x_{2}\approx 5{,}000.

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