Determine as soluções, constantes e não constantes, das equações abaixo:
d yd x=x arctg x

Passo 1

O enunciado pede para achar as soluções da EDO de primeira ordem
dydx=xarctan x.
Aqui o conteúdo é simples: uma vez que o segundo membro depende só de x, basta integrar em relação a x.

Passo 2

Procuramos soluções constantes. Se y(x)=K então dydx=0 e a EDO fica
0 = xarctan x
Para isso valer para todo x num intervalo aberto, precisaríamos de xarctan xequiv0, mas arctan x=0 só em x=0. Não há, portanto, nenhum intervalo em que xarctan x seja sempre zero. Logo não existem soluções constantes não-triviais.

Passo 3

Agora buscamos a solução não-constante. Escrevemos
dy = xarctan x,dx
e integramos ambos os lados:
y = integral xarctan x,dx + C

Passo 4

Para calcular integral xarctan x,dx usamos integração por partes. Tomamos
u=arctan x, dv=x,dx
de onde
du=dx1+x^2, v=x^22
Então
integral xarctan x,dx = x^22arctan x - integral x^2/21+x^2,dx
Como
x^21+x^2=1-11+x^2,
temos
integral x^2/21+x^2,dx = 12integral!l(1-tfrac11+x^2r),dx = x2-12arctan x
Substituindo de volta,
integral xarctan x,dx = x^22arctan x - l(x2-12arctan xr) = x^2+12arctan x - x2

Passo 5

Logo a solução geral não-constante é
y(x) = x^2+12arctan x - x2 + C,
onde Cin R.

Resposta

Soluções constantes: não existem em nenhum intervalo aberto.
Solução geral não-constante:
y(x) = x^2+12arctan x - x2 + C

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