Determine as soluções, constantes e não constantes, das equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para achar as soluções da EDO de primeira ordem
.
Aqui o conteúdo é simples: uma vez que o segundo membro depende só de , basta integrar em relação a
.
Aqui o conteúdo é simples: uma vez que o segundo membro depende só de
Passo 2
Procuramos soluções constantes. Se
então
e a EDO fica
Para isso valer para todo
num intervalo aberto, precisaríamos de
, mas
só em
. Não há, portanto, nenhum intervalo em que
seja sempre zero. Logo não existem soluções constantes não-triviais.
Passo 3
Agora buscamos a solução não-constante. Escrevemos
e integramos ambos os lados:
Passo 4
Para calcular
usamos integração por partes. Tomamos
de onde
Então
Como
temos
Substituindo de volta,
Passo 5
Logo a solução geral não-constante é
onde
.
Resposta
Soluções constantes: não existem em nenhum intervalo aberto.
Solução geral não-constante:
Solução geral não-constante: