Resolva pelo Método de Newton, com \varepsilon=10^{-3}, os sistemas a seguir. \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \\\ x_{1}^{3}+x_{2}=0\end{array}\right. com \mathrm{x}^{0}=\binom{1}{-1}
Informações dadas que vamos usar passo a passo: \;x_1,x_2 são incógnitas; \mathbf{x}=(x_1,x_2)^T.
O objetivo é obter uma aproximação \mathbf{x}^k que satisfaça o critério de parada pedido (vou usar o critério padrão baseado no tamanho do passo: \|\mathbf{x}^{k+1}-\mathbf{x}^k\|_\infty<\varepsilon).]
Passo 2
O que é o Método de Newton para sistemas (explicação didática):
Seja \mathbf{F}(\mathbf{x}) o vetor das equações; aqui definimos
Para resolver rapidamente o sistema linear J\mathbf{s}=-\mathbf{F} de ordem 2, uso a fórmula explícita (Cramer / resolução direta): se
J=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},\qquad J\mathbf{s}=\begin{pmatrix}e\\[4pt] f\end{pmatrix},
então o determinante é \Delta = ad-bc e
s_{1}=\frac{e d - b f}{\Delta},\qquad s_{2}=\frac{a f - e c}{\Delta}.
Critério de parada que vou usar: parar quando \|\mathbf{s}\|_\infty = \max(|s_1|,|s_2|) < \varepsilon = 10^{-3}.
Agora aplicamos isso numericamente a partir de \mathbf{x}^0.]
Passo 3
Iteração k=0 (do ponto inicial \mathbf{x}^{0}=(1,-1)^T):