Resolva por esse método as seguintes equações:
y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
y\,y'' + \bigl(y'\bigr)^{2} = 0
usando um método de redução de ordem. Vamos usar a ideia de que o lado esquerdo é a derivada de um produto.

Passo 2

Perceba que
\frac{d}{dx}\bigl(y\,y'\bigr) = y'\,y' + y\,y'' = \bigl(y'\bigr)^{2} + y\,y'',
ou seja, a equação dada pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\bigl(y\,y'\bigr) = 0.

Passo 3

Integrando em relação a x, obtemos
y\,y' = C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Agora temos uma EDO de primeira ordem:
y\,\frac{dy}{dx} = C_{1}.
Separamos variáveis:
y\,dy = C_{1}\,dx
e integramos:
\int y\,dy = \int C_{1}\,dx \;\Longrightarrow\; \frac{y^{2}}{2} = C_{1}\,x + C_{2},
com C_{2} outra constante de integração.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e juntando constantes, podemos escrever
y^{2} = 2\,C_{1}\,x + 2\,C_{2}.
Renomeando 2C_{2} como C_{2} (constante arbitrária), fica
y^{2} = 2\,C_{1}\,x + C_{2}.
Extraindo raiz,
y(x) = \pm\sqrt{2\,C_{1}\,x + C_{2}}.

Resposta

y(x) = \pm \sqrt{2\,C_{1}\,x + C_{2}},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

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