Resolva por esse método as seguintes equações:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^{2}y''+x\,y'=1
que é uma equação diferencial de Euler–Cauchy não homogênea. Vamos usar a técnica de reconhecer uma derivada exata dentro do lado esquerdo.

Passo 2

Observe que
x^{2}y''+x\,y' \;=\; x\bigl(x\,y''+y'\bigr).

Passo 3

Note que
x\,y''+y' \;=\;\frac{d}{dx}\bigl(x\,y'\bigr).
Logo a equação fica
x\,\frac{d}{dx}\bigl(x\,y'\bigr)=1.

Passo 4

Dividindo por x (supondo x\neq0) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y'\bigr)=\frac1x.
Integramos em relação a x:
x\,y'=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert + C_{1}.

Passo 5

Isolando y', vem
y'=\frac{\ln\lvert x\rvert + C_{1}}{x}.

Passo 6

Integramos mais uma vez para achar y:
y=\int\frac{\ln\lvert x\rvert}{x}\,dx + C_{1}\int\frac{1}{x}\,dx =\frac{1}{2}\bigl(\ln\lvert x\rvert\bigr)^{2}+C_{1}\ln\lvert x\rvert + C_{2}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\bigl(\ln\lvert x\rvert\bigr)^{2}+C_{1}\ln\lvert x\rvert + C_{2}.

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