Seja f: R R definida por
f(x)=cc 12+|x|^3 sin (1x), & se x neq 0 k, & se x=0
(a) (0,75) Qual o valor de k que torna f contínua?
(b) (0,75) A funcão f, com k escolhido no item anterior, é derivável?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
O que se pede é (a) achar seja contínua em e (b) verificar se, com esse , é derivável em (e, por extensão, em todo ).]

Passo 2

Para a continuidade em 0 precisamos
limxto0f(x)=f(0)=k
Note que
-|x|^3<= |x|^3sin!l(1xr)<= |x|^3
Como limxto0pm|x|^3=0, pelo Teorema do Confronto temos
limxto0|x|^3sin!l(1xr)=0,
logo
limxto0f(x)=limxto0l(tfrac12+|x|^3sintfrac1xr)=tfrac12
Para que f seja contínua em 0, deve-se então escolher
k=tfrac12

Passo 3

Agora, com k=tfrac12, vamos checar a derivabilidade em 0 usando a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h =limhto012+|h|^3sin!l(tfrac1hr)-12h =limhto0|h|^3sin!l(tfrac1hr)h
Observe que
|h|^3h=|h|^2,sgn(h),
então
|h|^3sin!(1/h)h=|h|^2,sgn(h),sin!l(tfrac1hr),
e, usando l|sgn(h)sin(tfrac1h)r|<=1, fica
l|f(h)-f(0)hr|<= |h|^2xrightarrowhto00
Logo f'(0)=0 existe.

Passo 4

Para xneq0, f(x)=tfrac12+|x|^3sin(1/x) é composição e soma de funções já conhecidas como diferenciáveis (potência, valor absoluto para xneq0, seno e recíproco), logo é diferenciável em todo xneq0. Com isso, f é derivável em R.

Resposta

(a) k=tfrac12
(b) Sim. A função f é derivável em todo R, em particular em 0, com f'(0)=0.

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