(a) Qual o valor de que torna contínua?
(b) A funcão , com escolhido no item anterior, é derivável?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
O que se pede é (a) achar seja contínua em e (b) verificar se, com esse , é derivável em (e, por extensão, em todo ).]
Passo 2
Para a continuidade em precisamos
Note que
Como , pelo Teorema do Confronto temos
logo
Para que seja contínua em , deve-se então escolher
Passo 3
Agora, com , vamos checar a derivabilidade em usando a definição
Observe que
então
e, usando , fica
l|f(h)-f(0)hr|<= |h|^2xrightarrowhto00
Logo f'(0)=0 existe.
Passo 4
Para xneq0, f(x)=tfrac12+|x|^3sin(1/x) é composição e soma de funções já conhecidas como diferenciáveis (potência, valor absoluto para xneq0, seno e recíproco), logo é diferenciável em todo xneq0. Com isso, f é derivável em R.
Resposta
(a) k=tfrac12
(b) Sim. A função f é derivável em todo R, em particular em 0, com f'(0)=0.