Resolva pelo método de variação de constantes
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=1 /\left(1+e^{2 x}\right).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = \frac1{1+e^{2x}},
usando o método de variação de constantes. Vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da homogênea, depois usar as fórmulas de variação de constantes para obter uma particular.

Passo 2

Começamos pela equação característica associada à homogênea
r^2 + 5r + 6 = 0.
As raízes são
r = -2,\quad r = -3,
logo a solução complementar é
y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

No método de variação de constantes escolhemos as soluções fundamentais
y_1 = e^{-2x},\quad y_2 = e^{-3x},
e calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{-2x}(-3e^{-3x}) - (-2e^{-2x})e^{-3x} = -e^{-5x}.]

Passo 4

As derivadas das funções de variação de constantes são
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W} = -\frac{e^{-3x}\,\frac1{1+e^{2x}}}{-e^{-5x}} = \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}},
u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W} = \frac{e^{-2x}\,\frac1{1+e^{2x}}}{-e^{-5x}} = -\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}.

Passo 5

Agora integramos para achar u_1 e u_2. Para u_1:
u_1 = \int \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx.
Fazendo t=e^{2x}, dt=2e^{2x}dx, obtém-se
u_1 = \frac12\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr).
Para u_2, primeiro reescrevemos o integrando como
\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}} = e^x - \frac{e^x}{1+e^{2x}},
de onde
\int \frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\,dx = \int e^x dx \;-\;\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx = e^x - \arctan\bigl(e^x\bigr).
Logo
u_2 = -\bigl(e^x - \arctan(e^x)\bigr) = -e^x + \arctan(e^x).

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \frac12\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)\,e^{-2x} \;+\;\bigl(-e^x + \arctan(e^x)\bigr)\,e^{-3x}.
Assim a solução geral fica
y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + \frac12e^{-2x}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) - e^{-2x} + e^{-3x}\arctan\bigl(e^x\bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + \frac12e^{-2x}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) - e^{-2x} + e^{-3x}\arctan\bigl(e^x\bigr).}

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