Resolva pelo método de variação de constantes y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=1 /\left(1+e^{2 x}\right).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = \frac1{1+e^{2x}},
usando o método de variação de constantes. Vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da homogênea, depois usar as fórmulas de variação de constantes para obter uma particular.
Passo 2
Começamos pela equação característica associada à homogênea
r^2 + 5r + 6 = 0.
As raízes são
r = -2,\quad r = -3,
logo a solução complementar é
y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}.
Passo 3
No método de variação de constantes escolhemos as soluções fundamentais