Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias:
9 y^{\prime \prime}+y=0 ; y(3 п / 2)=2, y^{\prime}(3 п / 2)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9\,y'' + y = 0
com condições iniciais
y\bigl(3\pi/2\bigr)=2, \quad y'\bigl(3\pi/2\bigr)=0.
O conteúdo aqui é solução geral de EDO linear homogênea via equação característica e aplicação de condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y''\to r^2:
9r^2 + 1 = 0
Logo
r^2 = -\tfrac{1}{9} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm \tfrac{i}{3}.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r=\pm i/3, a solução geral real é
y(x) = A\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) \;+\; B\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = -\tfrac{A}{3}\,\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + \tfrac{B}{3}\,\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Em x=3\pi/2 temos \tfrac{x}{3}=\pi/2, e
\cos\bigl(\tfrac{3\pi/2}{3}\bigr)=\cos(\tfrac{\pi}{2})=0, \quad \sin(\tfrac{\pi}{2})=1.

Passo 5

Usando y(3\pi/2)=2:
A\cdot 0 + B\cdot1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad B=2.
Usando y'(3\pi/2)=0:
-\tfrac{A}{3}\cdot1 + \tfrac{B}{3}\cdot0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A=0.

Resposta

y(x) = 2\sin\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Exercícios relacionados