Resolver um sistema de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede a resolução do sistema linear não-homogêneo
O conteúdo é sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos escrever na forma matricial, achar a solução geral do sistema homogêneo e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial
, com
, temos
Para o sistema homogêneo
buscamos valores próprios
de
, cujas raízes são
e
.
Passo 3
Para
o autovetor satisfaz
, logo
.
Para satisfaz
, logo
.
Assim a solução do homogêneo é
Para
Assim a solução do homogêneo é
Passo 4
Procuramos uma solução particular da forma
com
e
. Então
e a condição
gera equações em
e
.
Passo 5
Separando coeficientes de
e
obtém-se o sistema
Escrevendo componentes e resolvendo, chega-se a
Passo 6
Logo a solução particular é
A solução geral do sistema não-homogêneo é
Passo 7
Em componentes, nomeando
e
as constantes de integração,