Resolver um sistema de equações diferenciais
\left\{ \begin{array}{l} \dot{x}=y-5 \cos t, \\ \dot{y}=2 x+y . \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede a resolução do sistema linear não-homogêneo
\begin{cases} \dot{x}=y-5\cos t,\\\ \dot{y}=2x+y. \end{cases}
O conteúdo é sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos escrever na forma matricial, achar a solução geral do sistema homogêneo e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial \dot{X}=AX+F(t), com X=(x,y)^\top, temos
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&1\end{pmatrix}, \quad F(t)=\begin{pmatrix}-5\cos t\\\ 0\end{pmatrix}.
Para o sistema homogêneo \dot{X}=AX buscamos valores próprios \lambda de \det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-2=0, cujas raízes são \lambda_1=2 e \lambda_2=-1.

Passo 3

Para \lambda_1=2 o autovetor satisfaz -2x+y=0, logo v_1=(1,2).
Para \lambda_2=-1 satisfaz x+y=0, logo v_2=(1,-1).
Assim a solução do homogêneo é
X_h(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}e^{2t} +C_2\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{-t}.

Passo 4

Procuramos uma solução particular da forma
X_p(t)=a\cos t + b\sin t,
com a=(a_1,a_2)^\top e b=(b_1,b_2)^\top. Então
\dot{X}_p=-a\sin t + b\cos t,
e a condição \dot{X}_p=AX_p+F(t) gera equações em \cos t e \sin t.

Passo 5

Separando coeficientes de \cos t e \sin t obtém-se o sistema
b = A\,a - \begin{pmatrix}5\\\ 0\end{pmatrix}, \quad -\,a = A\,b.
Escrevendo componentes e resolvendo, chega-se a
b=\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}, \quad a=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 6

Logo a solução particular é
X_p(t) =\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}\cos t +\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}\sin t.
A solução geral do sistema não-homogêneo é
X(t)=X_h(t)+X_p(t).

Passo 7

Em componentes, nomeando C_1 e C_2 as constantes de integração,
x(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{-t}-\cos t-2\sin t,
y(t)=2C_1e^{2t}-C_2e^{-t}+3\cos t+\sin t.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x(t)&=C_1e^{2t}+C_2e^{-t}-\cos t-2\sin t,\\\ y(t)&=2C_1e^{2t}-C_2e^{-t}+3\cos t+\sin t. \end{aligned} }

Exercícios relacionados