Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações
t y^{\prime \prime}-(1+t) y^{\prime}-y=t^{2} e^{2 t}, t>0 \quad y_{1}(t)=e^{t}, y_{2}(t)=1+t,

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial
t\,y''-(1+t)\,y'-y=t^{2}e^{2t},\qquad t>0,
usando o método da variação de parâmetros, sabendo que duas soluções fundamentais da equação homogênea associada são
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=1+t.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação não homogênea: }t\,y''-(1+t)\,y'-y=t^{2}e^{2t}.çããê
\text{Soluções da homogênea: }y_1(t)=e^t,\quad y_2(t)=1+t.çõê
A meta é encontrar uma solução particular por variação de parâmetros e montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+P(t)y'+Q(t)y=R(t), dividindo por t (válido pois t>0):
y''-\frac{1+t}{t}\,y'-\frac{1}{t}\,y=t e^{2t}.
Logo identificamos
P(t)=-\frac{1+t}{t}=-\frac{1}{t}-1,\qquad Q(t)=-\frac{1}{t},\qquad R(t)=t e^{2t}.

Passo 3

Ideia do método da variação de parâmetros (explicação passo a passo, sem pular etapas):
  • Para a equação linear de segunda ordem, a solução geral é soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular: y=y_h+y_p\). - Já temos uma base do espaço das soluções homogêneas: \(y_h=C_1y_1+C_2y_2\). - Na variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma \[y_p=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1(t) e u_2(t) são funções a determinar (em vez de constantes).
  • Para reduzir a ordem e facilitar o cálculo impomos uma condição adicional conveniente:
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0.
  • Substituindo y_p na equação e usando a condição acima, chegamos ao sistema linear em u_1',u_2':
\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=R(t). \end{cases}
(Essa segunda equação vem da substituição direta na equação padrão; a derivação completa mostra que os termos com u_1,u_2\] sem derivada desaparecem porque \(y_1,y_2 satisfazem a homogênea.)
  • Esse sistema pode ser resolvido por álgebra linear usando o Wronskiano.]

Passo 4

Calculemos o Wronskiano W(t) das soluções y_1,y_2:
W(t)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1 y_2'-y_1' y_2.
Com y_1=e^t,\\ y_1'=e^t,\\ y_2=1+t,\\ y_2'=1 obtemos
W(t)=e^t\cdot 1 - e^t\cdot(1+t)=e^t(1-(1+t))=-t e^t.

Passo 5

Resolvendo o sistema para u_1' e u_2' (fórmulas padrão; explico a razão):
  • O sistema linear
\begin{cases} y_1 u_1'+y_2 u_2'=0,\\\ y_1' u_1'+y_2' u_2'=R \end{cases}
tem solução obtida por Cramer. As fórmulas resultantes são
u_1'=-\frac{R\,y_2}{W},\qquad u_2'=\frac{R\,y_1}{W}.
Essas expressões vêm de aplicar determinantes (Cramer) ao sistema: substituir a coluna correspondente e dividir pelo Wronskiano.

Passo 6

Substituímos R(t)=t e^{2t}, y_1,y_2 e W nas fórmulas:
u_1'=-\frac{t e^{2t}\cdot(1+t)}{-t e^t}=\frac{t e^{2t}(1+t)}{t e^t}=e^t(1+t),
onde simplificamos os fatores t e e^t.
u_2'=\frac{t e^{2t}\cdot e^t}{-t e^t}=-e^{2t},
onde também simplificamos t e e^t.

Passo 7

Integramos u_1' e u_2' para obter u_1,u_2. Integrais detalhadas:
Para u_1':
u_1=\int e^t(1+t)\,dt=\int e^t\,dt+\int t e^t\,dt.
A primeira integral é \int e^t\,dt=e^t.
A segunda integral \int t e^t\,dt faz-se por partes: escolha a=t e db=e^t dt. Então da=dt e b=e^t. Assim
\int t e^t\,dt = t e^t - \int e^t\,dt = t e^t - e^t = e^t(t-1).
Somando as duas partes:
u_1=e^t + e^t(t-1)=e^t t.
(Na variação de parâmetros as constantes de integração podem ser tomadas zero porque quaisquer constantes gerariam combinações das soluções homogêneas já incluídas em C_1y_1+C_2y_2.)
Para u_2':
u_2=\int -e^{2t}\,dt=-\frac{1}{2}e^{2t}.
Também aqui descartamos a constante de integração por conveniência.

Passo 8

Agora montamos a solução particular
y_p=u_1 y_1+u_2 y_2.
Substituindo u_1=e^t t,\\ u_2=-\tfrac{1}{2}e^{2t},\\ y_1=e^t,\\ y_2=1+t:
y_p=(t e^t)\cdot e^t +\left(-\frac{1}{2}e^{2t}\right)\cdot(1+t).
Simplificando:
y_p=t e^{2t}-\frac{1}{2}e^{2t}(1+t)=e^{2t}\left(t-\frac{1+t}{2}\right).
Continuando a simplificação:
t-\frac{1+t}{2}=\frac{2t-(1+t)}{2}=\frac{t-1}{2},
logo
y_p=\frac{1}{2}e^{2t}(t-1).

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea geral com a solução particular encontrada:
y(t)=C_1 y_1(t)+C_2 y_2(t)+y_p(t).
Substituindo y_1,y_2,y_p:
y(t)=C_1 e^t + C_2(1+t) + \frac{1}{2}e^{2t}(t-1),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1 e^t + C_2(1+t) + \dfrac{1}{2}e^{2t}(t-1)

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