Resolva pelo método da variação dos parametros as seguintes equações t y^{\prime \prime}-(1+t) y^{\prime}-y=t^{2} e^{2 t}, t>0 \quad y_{1}(t)=e^{t}, y_{2}(t)=1+t,
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial
t\,y''-(1+t)\,y'-y=t^{2}e^{2t},\qquad t>0,
usando o método da variação de parâmetros, sabendo que duas soluções fundamentais da equação homogênea associada são
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=1+t.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação não homogênea: }t\,y''-(1+t)\,y'-y=t^{2}e^{2t}.
\text{Soluções da homogênea: }y_1(t)=e^t,\quad y_2(t)=1+t.
A meta é encontrar uma solução particular por variação de parâmetros e montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+P(t)y'+Q(t)y=R(t), dividindo por t (válido pois t>0):
Ideia do método da variação de parâmetros (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Para a equação linear de segunda ordem, a solução geral é soma da solução geral da homogênea mais uma solução particular: y=y_h+y_p\).
- Já temos uma base do espaço das soluções homogêneas: \(y_h=C_1y_1+C_2y_2\).
- Na variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
\[y_p=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1(t) e u_2(t) são funções a determinar (em vez de constantes).
Para reduzir a ordem e facilitar o cálculo impomos uma condição adicional conveniente:
u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0.
Substituindo y_p na equação e usando a condição acima, chegamos ao sistema linear em u_1',u_2':
(Essa segunda equação vem da substituição direta na equação padrão; a derivação completa mostra que os termos com u_1,u_2\] sem derivada desaparecem porque \(y_1,y_2 satisfazem a homogênea.)
Esse sistema pode ser resolvido por álgebra linear usando o Wronskiano.]
Passo 4
Calculemos o Wronskiano W(t) das soluções y_1,y_2:
Integramos u_1' e u_2' para obter u_1,u_2. Integrais detalhadas:
Para u_1':
u_1=\int e^t(1+t)\,dt=\int e^t\,dt+\int t e^t\,dt.
A primeira integral é \int e^t\,dt=e^t.
A segunda integral \int t e^t\,dt faz-se por partes: escolha a=t e db=e^t dt. Então da=dt e b=e^t. Assim
\int t e^t\,dt = t e^t - \int e^t\,dt = t e^t - e^t = e^t(t-1).
Somando as duas partes:
u_1=e^t + e^t(t-1)=e^t t.
(Na variação de parâmetros as constantes de integração podem ser tomadas zero porque quaisquer constantes gerariam combinações das soluções homogêneas já incluídas em C_1y_1+C_2y_2.)
Para u_2':
u_2=\int -e^{2t}\,dt=-\frac{1}{2}e^{2t}.
Também aqui descartamos a constante de integração por conveniência.