Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
23. \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{0.9 s}{(s-0,1)(s+0,2)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pedido: encontrar \mathscr{L}^{-1}\left\{\dfrac{0,9 s}{(s-0,1)(s+0,2)}\right\}, ou seja, a transformada inversa de Laplace da função racional dada.
  • Dados que o enunciado fornece: o numerador é 0,9s e o denominador é o produto (s-0,1)(s+0,2).
  • Observação útil já aqui: o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 2, então a fração é própria (grau numerador < grau denominador) e podemos fazer decomposição em frações simples com polos distintos (s-0,1) e (s+0,2).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
  • Linearidade da transformada inversa: se \mathscr{L}\{f\}=F e \mathscr{L}\{g\}=G, então \mathscr{L}^{-1}\{aF+bG\}=a f + b g, para constantes a,b.
  • Transformada direta conhecida que usaremos como “tabela”: para constante a, \mathscr{L}\{e^{a t}\}=\frac{1}{s-a}.Portanto, por inversão, \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}.Aqui s é a variável da transformada de Laplace (complexa) e t é a variável temporal em que queremos a função original.
  • Estratégia: decompor a função racional em soma de termos do tipo \dfrac{\text{constante}}{s-a}, porque cada um tem inversa e^{a t}. Isso é feito por decomposição em frações parciais.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais:
Assumimos
\frac{0,9 s}{(s-0,1)(s+0,2)}=\frac{A}{s-0,1}+\frac{B}{s+0,2},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (s-0,1)(s+0,2) obtemos
0,9 s = A(s+0,2)+B(s-0,1).
Agora desenvolvemos o lado direito:
A(s+0,2)+B(s-0,1)=(A+B)s + (0,2A-0,1B).
Comparando os coeficientes do polinômio em s no lado esquerdo e no direito, temos o sistema linear:
\begin{cases} A+B=0,9,\\[4pt] 0,2A-0,1B=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema para A e B (passo a passo aritmético):
Da primeira equação B=0,9-A.
Substituímos na segunda:
0,2A-0,1(0,9-A)=0.
Expandindo:
0,2A-0,09+0,1A=0.
Somando os termos em A:
0,3A-0,09=0.
Isolando A:
0,3A=0,09 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{0,09}{0,3}.
Fazendo a divisão (note que 0,3\cdot0,3=0,09):
A=0,3.
Agora B=0,9-A=0,9-0,3=0,6.
Portanto A=0,3 e B=0,6.

Passo 5

Reescrevendo a função e aplicando a transformada inversa usando a tabela:
Temos
\frac{0,9 s}{(s-0,1)(s+0,2)}=\frac{0,3}{s-0,1}+\frac{0,6}{s+0,2}.
Usando \mathscr{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{a t} e linearidade, notando que s+0,2=s-(-0,2), obtemos
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{0,3}{s-0,1}\right\}=0,3\,e^{0,1t},
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{0,6}{s+0,2}\right\}=0,6\,e^{-0,2t}.
Somando as duas partes (pela linearidade):
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{0,9 s}{(s-0,1)(s+0,2)}\right\}=0,3\,e^{0,1t}+0,6\,e^{-0,2t}.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas bom para confirmar): aplicando a transformada direta em 0,3 e^{0,1t}+0,6 e^{-0,2t} obtemos
0,3\frac{1}{s-0,1}+0,6\frac{1}{s+0,2},
que combina em \dfrac{0,9 s}{(s-0,1)(s+0,2)}. Portanto a inversa está correta.

Resposta

0,3\,e^{0,1t}+0,6\,e^{-0,2t}

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