Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
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Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pedido: encontrar
, ou seja, a transformada inversa de Laplace da função racional dada. - Dados que o enunciado fornece: o numerador é
e o denominador é o produto . - Observação útil já aqui: o numerador tem grau
e o denominador tem grau , então a fração é própria (grau numerador < grau denominador) e podemos fazer decomposição em frações simples com polos distintos e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
- Linearidade da transformada inversa: se
e , então , para constantes . - Transformada direta conhecida que usaremos como “tabela”: para constante
, Portanto, por inversão, Aqui é a variável da transformada de Laplace (complexa) e é a variável temporal em que queremos a função original. - Estratégia: decompor a função racional em soma de termos do tipo
, porque cada um tem inversa . Isso é feito por decomposição em frações parciais.
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Assumimos
onde
e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora desenvolvemos o lado direito:
Comparando os coeficientes do polinômio em
no lado esquerdo e no direito, temos o sistema linear:
Passo 4
Resolvendo o sistema para
e
(passo a passo aritmético):
Da primeira equação
.
Substituímos na segunda:
Expandindo:
Somando os termos em
:
Isolando
:
Fazendo a divisão (note que
):
Agora
Portanto
e
.
Passo 5
Reescrevendo a função e aplicando a transformada inversa usando a tabela:
Temos
Usando
e linearidade, notando que
, obtemos
Somando as duas partes (pela linearidade):
Passo 6
Checagem rápida (opcional, mas bom para confirmar): aplicando a transformada direta em
obtemos
que combina em
. Portanto a inversa está correta.