Resolva pelo método de variação de parâmetros:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=1 /\left(1+e^{2 x}\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''+5y'+6y=\frac{1}{1+e^{2x}}
pelo método de variação de parâmetros. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois construir uma particular usando duas funções u_1(x) e u_2(x).

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+5y'+6y=0.
A equação característica é
r^2+5r+6=0\implies(r+2)(r+3)=0\implies r=-2,\,-3.
Logo, duas soluções fundamentais são
y_1(x)=e^{-2x},\quad y_2(x)=e^{-3x}.

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)
com as condições
\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,\\\ u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=\dfrac{1}{1+e^{2x}}. \end{cases}
O Wronskiano é
W(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1'&y_2' \end{vmatrix} =e^{-2x}(-3e^{-3x})-e^{-3x}(-2e^{-2x}) =-e^{-5x}.
As fórmulas ficam então
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,\frac1{1+e^{2x}}}{W(x)},\quad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,\frac1{1+e^{2x}}}{W(x)}.]

Passo 4

Substituindo y_2=e^{-3x} e W=-e^{-5x} em u_1'
u_1'(x) =-\frac{e^{-3x}}{1+e^{2x}}\;\Big/\;\bigl(-e^{-5x}\bigr) =\frac{e^{-3x}}{1+e^{2x}}\;e^{5x} =\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}.
Integramos:
u_1(x)=\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx \quad\overset{t=e^{2x}}=\quad \frac12\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr).

Passo 5

Para u_2' temos
u_2'(x) =\frac{e^{-2x}}{1+e^{2x}}\;\Big/\;\bigl(-e^{-5x}\bigr) =-\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}.
Fazendo t=e^x, dt=e^x dx, obtém-se
u_2(x) =\int -\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\,dx =-e^x+\arctan\bigl(e^x\bigr).

Passo 6

Montando a solução particular:
y_p =u_1\,y_1+u_2\,y_2 =\frac12\,e^{-2x}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) +\bigl(-e^x+\arctan(e^x)\bigr)e^{-3x}.
Note que o termo -e^x e^{-3x}=-e^{-2x} pode ser absorvido em C_1e^{-2x}. Então escolhemos
y_p(x) =\frac12\,e^{-2x}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) +e^{-3x}\,\arctan\bigl(e^x\bigr).
A solução geral é
y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x} +\frac12\,e^{-2x}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) +e^{-3x}\,\arctan\bigl(e^x\bigr).

Resposta

y(x)=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x} +\frac12\,e^{-2x}\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) +e^{-3x}\,\arctan\bigl(e^x\bigr).

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