Resolva
\operatorname{Max} z=2 x+3 y
s.a x+2 y \leq 10
3 x+4 y \leq 25
x . y \geq 0 . x e y inteiros

Passo 1

O enunciado pede maximizar z=2x+3y sob as restrições
x+2y \leq 10,
3x+4y \leq 25,
com x\ge 0, y\ge 0 e x e y inteiros.
Informações relevantes dadas:
  • Função objetivo: z=2x+3y.
  • Restrições lineares: \;x+2y\le 10 e \;3x+4y\le 25.
  • Variáveis não negativas e inteiras: x,y\in\mathbb{Z}_{\ge 0}.
  • Devemos encontrar os valores inteiros de x e y que maximizam z.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem entrar em cálculos ainda): como o problema é pequeno (duas variáveis e restrições simples) a forma prática é:
  1. Olhar a solução contínua (relaxação linear) para entender onde está o máximo real; ela costuma ficar em um vértice do polígono de restrições.
  2. Como precisamos de solução inteira, enumeramos valores inteiros possíveis de y (ou de x) dentro dos limites dados e, para cada y inteiro, calculamos o maior x inteiro que satisfaz todas as desigualdades. Isso é rápido porque y tem pouca amplitude (vamos ver isso já).
    Vou explicar cada fórmula usada para você poder repetir isso na prova.

Passo 3

Analisando limites para y: da desigualdade \;x+2y\le 10 com x\ge 0 vem \;2y\le 10\Rightarrow y\le 5. Da desigualdade \;3x+4y\le 25 com x\ge 0 vem \;4y\le 25\Rightarrow y\le 25/4=6{,}25. Então, combinando e lembrando que y é inteiro, temos y\in\{0,1,2,3,4,5\}. Ou seja, só precisamos testar essas 6 possibilidades — bem factível na prova.

Passo 4

Para cada y inteiro escolhido, precisamos do maior x inteiro que satisfaça ambas as desigualdades. A forma de obter esse x_{\max}(y) é:
  • Da primeira desigualdade: x\le 10-2y.
  • Da segunda: 3x\le 25-4y \Rightarrow x\le \dfrac{25-4y}{3}.
    Logo o limite superior para x é
x\le \min\!\left(10-2y,\;\dfrac{25-4y}{3}\right).
Como queremos x inteiro não negativo, tomamos
x_{\max}(y)=\left\lfloor \min\!\left(10-2y,\;\dfrac{25-4y}{3}\right)\right\rfloor,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a função piso (arredonda para baixo). Vou calcular isso passo a passo para cada y.

Passo 5

Calculando para y=0:
  • 10-2y = 10-0 = 10.
  • \dfrac{25-4y}{3} = \dfrac{25-0}{3} = \dfrac{25}{3}\approx 8{,}333.
    Portanto x_{\max}(0)=\lfloor \min(10,\tfrac{25}{3})\rfloor = \lfloor \tfrac{25}{3}\rfloor = 8.
    Valor objetivo: z=2x+3y=2\cdot 8 + 3\cdot 0 = 16.

Passo 6

Calculando para y=1:
  • 10-2y = 10-2 = 8.
  • \dfrac{25-4y}{3} = \dfrac{25-4}{3} = \dfrac{21}{3} = 7.
    Portanto x_{\max}(1)=\lfloor \min(8,7)\rfloor = 7.
    Valor objetivo: z=2\cdot 7 + 3\cdot 1 = 14+3 = 17.

Passo 7

Calculando para y=2:
  • 10-2y = 10-4 = 6.
  • \dfrac{25-4y}{3} = \dfrac{25-8}{3} = \dfrac{17}{3}\approx 5{,}666.
    Portanto x_{\max}(2)=\lfloor \min(6,\tfrac{17}{3})\rfloor = \lfloor \tfrac{17}{3}\rfloor = 5.
    Valor objetivo: z=2\cdot 5 + 3\cdot 2 = 10+6 = 16.

Passo 8

Calculando para y=3:
  • 10-2y = 10-6 = 4.
  • \dfrac{25-4y}{3} = \dfrac{25-12}{3} = \dfrac{13}{3}\approx 4{,}333.
    Portanto x_{\max}(3)=\lfloor \min(4,\tfrac{13}{3})\rfloor = 4.
    Valor objetivo: z=2\cdot 4 + 3\cdot 3 = 8+9 = 17.

Passo 9

Calculando para y=4:
  • 10-2y = 10-8 = 2.
  • \dfrac{25-4y}{3} = \dfrac{25-16}{3} = \dfrac{9}{3} = 3.
    Portanto x_{\max}(4)=\lfloor \min(2,3)\rfloor = 2.
    Valor objetivo: z=2\cdot 2 + 3\cdot 4 = 4+12 = 16.

Passo 10

Calculando para y=5:
  • 10-2y = 10-10 = 0.
  • \dfrac{25-4y}{3} = \dfrac{25-20}{3} = \dfrac{5}{3}\approx 1{,}666.
    Portanto x_{\max}(5)=\lfloor \min(0,\tfrac{5}{3})\rfloor = 0.
    Valor objetivo: z=2\cdot 0 + 3\cdot 5 = 15.

Passo 11

Resumo dos candidatos inteiros e seus z:
  • y=0: x=8, z=16.
  • y=1: x=7, z=17.
  • y=2: x=5, z=16.
  • y=3: x=4, z=17.
  • y=4: x=2, z=16.
  • y=5: x=0, z=15.
Comparando, o maior valor de z obtido é 17, alcançado por duas soluções inteiras: (x,y)=(7,1) e (x,y)=(4,3).

Resposta

z_{\max}=17 em (x,y)=(7,1)
z_{\max}=17 em (x,y)=(4,3)

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