Resolva
s.a
e
inteiros
s.a
Passo 1
O enunciado pede maximizar
sob as restrições
com
,
e
e
inteiros.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Função objetivo:
. - Restrições lineares:
e . - Variáveis não negativas e inteiras:
. - Devemos encontrar os valores inteiros de
e que maximizam .
Passo 2
Estratégia (explicação didática do que vamos fazer, sem entrar em cálculos ainda): como o problema é pequeno (duas variáveis e restrições simples) a forma prática é:
- Olhar a solução contínua (relaxação linear) para entender onde está o máximo real; ela costuma ficar em um vértice do polígono de restrições.
- Como precisamos de solução inteira, enumeramos valores inteiros possíveis de
(ou de ) dentro dos limites dados e, para cada inteiro, calculamos o maior inteiro que satisfaz todas as desigualdades. Isso é rápido porque tem pouca amplitude (vamos ver isso já).
Vou explicar cada fórmula usada para você poder repetir isso na prova.
Passo 3
Analisando limites para
: da desigualdade
com
vem
. Da desigualdade
com
vem
. Então, combinando e lembrando que
é inteiro, temos
. Ou seja, só precisamos testar essas 6 possibilidades — bem factível na prova.
Passo 4
Para cada
inteiro escolhido, precisamos do maior
inteiro que satisfaça ambas as desigualdades. A forma de obter esse
é:
- Da primeira desigualdade:
. - Da segunda:
.
Logo o limite superior paraé
Como queremos
inteiro não negativo, tomamos
onde
é a função piso (arredonda para baixo). Vou calcular isso passo a passo para cada
.
Passo 5
Calculando para
:
-
. -
.
Portanto.
Valor objetivo:.
Passo 6
Calculando para
:
-
. -
.
Portanto.
Valor objetivo:.
Passo 7
Calculando para
:
-
. -
.
Portanto.
Valor objetivo:.
Passo 8
Calculando para
:
-
. -
.
Portanto.
Valor objetivo:.
Passo 9
Calculando para
:
-
. -
.
Portanto.
Valor objetivo:.
Passo 10
Calculando para
:
-
. -
.
Portanto.
Valor objetivo:.
Passo 11
Resumo dos candidatos inteiros e seus
:
-
: , . -
: , . -
: , . -
: , . -
: , . -
: , .
Comparando, o maior valor de
obtido é
, alcançado por duas soluções inteiras:
e
.